при каких значениях сходится интеграл

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.

Предположим, что выполнены следующие условия:

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру у на интервале \((-\infty, +\infty) = \mathbb\).

\(\vartriangle\) Для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(b’ = \displaystyle\ln \frac<2><\varepsilon>\) такое, что для любого \(\xi \in [b’, +\infty)\) и любого \(y \in Y\) выполняется неравенство
$$
\left|\int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\right| \leq \int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^<-x>\ dx = e^ <-\xi>\leq e^ <-b’>= \frac<\varepsilon> <2>Определение.

Интеграл
$$
I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\nonumber
$$
сходится неравномерно по параметру \(y\) на полуинтервале \([0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Возьмем \(\varepsilon = e^<-1>\). Тогда для любого \(b’ \in (0, +\infty)\) существует \(\xi = b’\) и \(y = 1/b’\) такие, что
$$
\int\limits_<\xi>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>e^<-t>\ dt = \int\limits_<1>^ <+\infty>e^<-t>\ dt = e^ <-1>= \varepsilon,\nonumber
$$
и поэтому интеграл \(\displaystyle I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\) сходится неравномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y = [0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.

(Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть для любого \(y \in Y\) функция \(f(x, y)\) интегрируема по \(x\) на любом отрезке \([a, b’] \subset [a, b)\), и пусть на \([a, b)\) существует функция \(\varphi(x)\) такая, что для всех \(y \in Y\) и всех \(x \in [a, b)\) выполнено неравенство \(|f(x, y)| \leq \varphi(x)\), а несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ \varphi(x)\ dx\) сходится.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(y\) на интервале \((-\infty, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac<|\cos xy|><1+x^<2>> \leq \frac<1><1+x^<2>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>\), то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на \((-\infty, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Докажем признак Дирихле равномерной сходимости для интегралов вида
$$
\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx,\ y \in Y.\label
$$

(Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Тогда интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

\(\circ\) По признаку Дирихле несобственный интеграл \eqref сходится при любом \(y \in Y\). Покажем, что он сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Так как по условию 4) функция \(\psi(x) \rightarrow 0\) при \(x \rightarrow +\infty\), то для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(a’ > a\) такое, что для любого \(\xi \in [a’, +\infty)\) выполнено неравенство
$$
\psi(\xi) Замечание 2.

Если \(+\infty\) — единственная особая точка сходящегося интеграла \eqref, то этот интеграл сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\) в том и только том случае, когда при любом \(a’ > a\) интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Поэтому для справедливости утверждения теоремы 2 достаточно, чтобы условия 1)-4) выполнялись на некотором промежутке \([a’, +\infty) \subset [a, +\infty)\).

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\frac<\sin x>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(y\) при \(y \in [0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Так как функция \(\sin x\) имеет ограниченную первообразную, а при \(x \geq 1\), \(y \geq 0\) выполнены следующие условия:
$$
\frac<\partial> <\partial x>\left(\frac>\right) =-\frac>>(1+xy) Теорема 3.

(Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Получаем, что для любого \(\xi \in [b’, b)\) и для любого \(y \in Y\) выполнено неравенство \(\displaystyle\left|\int\limits_<\xi>^ f(x, y)\ dx\right| \leq \varepsilon\), из которого следует, что интеграл \(\int\limits_^ f(x, y)\ dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\). \(\bullet\)

Применяя правило построения отрицания, получаем из критерия Коши полезное следствие.

Если существует \(\varepsilon_ <0>> 0\) такое, что для любого \(b’ \in [a, b)\) существуют \(\xi_<0>, \xi’_ <0>\in [b’, b)\) и существует \(y_ <0>\in Y\) такие, что
$$
\left|\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> f(x, y_<0>)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,
$$
то интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ f(x, y)\ dx\) не сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \([\alpha_<0>, +\infty)\), \(\alpha_ <0>> 0\), и сходится неравномерно на множестве \((0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Пусть \(\alpha \geq \alpha_ <0>> 0\). Так как \(e^<-\alpha x^<2>> \leq e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\) сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \([\alpha_<0>, +\infty)\).

Пусть теперь \(\alpha \in (0, +\infty)\). Покажем, что на \((0, +\infty)\) интеграл \eqref сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем \(\varepsilon_ <0>= e^<-1>\), для любого \(b > 0\) возьмем \(\xi_ <0>= b\), \(\xi’_ <0>= b+1\), \(\alpha_ <0>= 1/(b+1)^<2>\). Тогда
$$
\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx = \int\limits_^ e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx \geq e^ <-\alpha_<0>(b+1)^<2>> \int\limits_^ dx = e^ <-1>= \varepsilon_<0>\nonumber
$$
и, следовательно, интеграл \eqref сходится неравномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \((0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.

\(\vartriangle\) Если функцию \(\displaystyle\frac<\sin x>\) доопределить при \(x = 0\) по непрерывности, считая, что при \(x = 0\) функция \(\frac<\sin x>\) принимает значение, равное единице, то подынтегральная функция интеграла \eqref будет непрерывной на множестве \(\<(x, y): x \geq 0, y \geq 0\>\).

При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \([0, +\infty)\). В силу теоремы 4 интеграл \eqref есть непрерывная функция параметра \(y\) на любом отрезке \([0, b]\). В частности, эта функция непрерывна при \(y = 0\), поэтому должно быть выполнено равенство \eqref. \(\blacktriangle\)

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

\(\vartriangle\) Воспользуемся известной формулой
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\sin x\ dx = \frac<1><1+y^<2>>,\ y > 0.\label
$$

Интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на любом отрезке \([\delta, N]\), где \(\delta > 0\). Это следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости, так как
$$
|e^ <-xy>\sin x\ dx| \leq e^<-\delta x>,\quad \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\delta x>\ dx = \frac<1><\delta>.\nonumber
$$
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство \eqref, получаем
$$
\operatorname N-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^<+\infty>\ dx \int\limits_<\delta>^ e^ <-xy>\sin x\ dy = \int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac-e^<-Nx>> \sin x\ dx.\label
$$

Так как \(|\sin x| \leq x\) при \(x \geq 0\), то
$$
\left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac\sin x>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-Nx>\ dx = \frac<1>.\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(N \rightarrow +\infty\) в равенстве \eqref, получаем
$$
\frac<\pi><2>-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-\delta x>\frac<\sin x>\ dx.
$$
Воспользовавшись равенством \eqref и переходя к пределу при \(\delta \rightarrow +0\), получаем выражение \eqref для интеграла Дирихле. \(\blacktriangle\)

(Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).

Пусть функции \(f(x, y)\) и \(f_(x, y)\) непрерывны на множестве \(\<(x, y):\ a\leq x Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(c \leq y \leq d\). Рассмотрим интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ f_(x, \eta)\ dx\) при \(\eta \in [c, y]\).

Покажем, что \(C_ <2>= 0\). Так как
$$
|I_<1>(y)| = \left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<|\cos xy|><1+x^<2>>\ dx \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>,\nonumber
$$
то \(I_<1>(y)\) есть ограниченная функция на \([\delta, +\infty)\). Так как \(e^\) — неограниченная функция на \([\delta, +\infty)\), то в формуле \eqref нужно принять \(C_ <2>= 0\).

Замечая, что интеграл Лапласа \(I_<1>(y)\) есть четная функция на \((-\infty, +\infty)\), а интеграл \(I_<2>(y)\) есть нечетная функция на \((-\infty, +\infty)\), перепишем равенство \eqref в следующем виде:
$$
I_<1>(y) = C_<1>e^<-|y|>,\ I_<2>(y) = C_<1>\ \operatorname\ ye^<-|y|>\ \mbox<при>\ y \neq 0.\label
$$

Для определения произвольной постоянной \(C_<1>\) воспользуемся тем, что интеграл Лапласа \(I_<1>(y)\) сходится равномерно по параметру \(y\) на \((-\infty, +\infty)\) (пример 3). Поэтому \(I_<1>(y)\) есть непрерывная функция в точке \(y = 0\). Следовательно,
$$
\frac<\pi> <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = I_<1>(0) = \lim_ I_<1>(y) = \lim_ C_<1>e^ <-y>= C_<1>.\nonumber
$$
Теперь формулы \eqref дают, что при любом \(y \in \boldsymbol\)
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>e^<-|y|>,\\ \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>\ \operatorname\ ye^<-|y|>.\label
$$
То, что формулы \eqref справедливы при \(y = 0\), проверяется непосредственно. \(\blacktriangle\)

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

В теореме 5 была обоснована перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интеграл несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

Пусть функция \(f(x, y)\) непрерывна на множестве \(\<(x, y): a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d\>\) и выполнены следующие условия:

Теоремы 4-7 остаются справедливыми и при замене функции \(f(x, y)\) на функцию \(\psi(x)f(x, y)\), где функция \(\psi(x)\) интегрируема по Риману на любом отрезке, лежащем в интервале \((a, b)\).

Если \(f(x, y) = \varphi(x, y)+i\psi(x, y)\) есть комплекснозначная функция, то
$$
|\varphi(x, y)| \leq |f(x, y)|,\ |\psi(x, y)| \leq |f(x, y)|.\nonumber
$$

Все условия теоремы будут выполнены и для функций \(\varphi(x, y)\) и \(\psi(x, y)\), если \(f(x, y)\) удовлетворяет условиям теоремы 7. Поэтому оба повторных интеграла от каждой из этих функций существуют и равны. Следовательно, существуют и равны повторные интегралы от функции \(f(x, y)\).

Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона (интеграл вероятностей)
$$
I = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-t^<2>> dt.\nonumber
$$

Для обоснования законности изменения порядка интегрирования применим теорему 7. Интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на любом отрезке \([c, d] \subset (0, +\infty)\) по признаку Вейерштрасса, так как \(|ye^<-y^<2>(1+x^<2>)>| \leq de^<-c^<2>(1+x^<2>)>\) а интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>de^<-c^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится.

Аналогично доказывается, что интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится равномерно по параметру \(x\) на любом отрезке \([a, b] \subset (0, +\infty)\). Повторный интеграл \(\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится в силу равенства \eqref.

Вычислить интегралы Френеля
$$
J_ <1>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\sin x^<2>\ dx,\ J_ <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\cos x^<2>\ dx.
$$

При написании формул \eqref использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств \eqref по параметру \(k\) при \(k \geq 0\) (признак Дирихле).

Изменение порядка интегрирования при \(k > 0\) обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при \(k \rightarrow +0\) под знаком интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру \(k\) при \(k \in [0, +\infty)\) (признак Вейерштрасса). Интегралы \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<4>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\fracdx><1+x^<4>>\) вычислены нами ранее (примеры здесь и здесь). \(\blacktriangle\)

Источник

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость image001. Вычислим интеграл по определению: image002.

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость image003. Вычислим интеграл по определению: image004.

Таким образом, данный интеграл сходится при a 0), а интеграл image008сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2 :

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

Пример 6 Исследовать на сходимость image019.

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

image020.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q 1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен image022, который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p 0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено TQE(1-P)T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

image024,

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q 1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость image025.

Разобьем исходный интеграл на два:

image026.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен image027, т. е. сходится при p 0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

image028.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

image029, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0

image030, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

image031.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

image032.

image033расходится (пример 1) при p p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл image035оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл image036расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0

Источник

admin
Производства
Adblock
detector