при каких значениях сходится интеграл

Содержание

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.
Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.
Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.
Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.
Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.

Предположим, что выполнены следующие условия:

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру у на интервале $(-\infty, +\infty) = \mathbb$.

$\vartriangle$ Для любого $\varepsilon > 0$ существует $b’ = \displaystyle\ln \frac<2><\varepsilon>$ такое, что для любого $\xi \in [b’, +\infty)$ и любого $y \in Y$ выполняется неравенство
$$
\left|\int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\right| \leq \int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^<-x>\ dx = e^ <-\xi>\leq e^ <-b’>= \frac<\varepsilon> <2>Определение.

Интеграл
$$
I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\nonumber
$$
сходится неравномерно по параметру $y$ на полуинтервале $[0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Возьмем $\varepsilon = e^<-1>$. Тогда для любого $b’ \in (0, +\infty)$ существует $\xi = b’$ и $y = 1/b’$ такие, что
$$
\int\limits_<\xi>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>e^<-t>\ dt = \int\limits_<1>^ <+\infty>e^<-t>\ dt = e^ <-1>= \varepsilon,\nonumber
$$
и поэтому интеграл $\displaystyle I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx$ сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.

(Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть для любого $y \in Y$ функция $f(x, y)$ интегрируема по $x$ на любом отрезке $[a, b’] \subset [a, b)$, и пусть на $[a, b)$ существует функция $\varphi(x)$ такая, что для всех $y \in Y$ и всех $x \in [a, b)$ выполнено неравенство $|f(x, y)| \leq \varphi(x)$, а несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_^ \varphi(x)\ dx$ сходится.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $y$ на интервале $(-\infty, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как $\displaystyle\frac<|\cos xy|><1+x^<2>> \leq \frac<1><1+x^<2>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>$, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на $(-\infty, +\infty)$. $\blacktriangle$

Докажем признак Дирихле равномерной сходимости для интегралов вида
$$
\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx,\ y \in Y.\label
$$

(Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Тогда интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

$\circ$ По признаку Дирихле несобственный интеграл \eqref сходится при любом $y \in Y$. Покажем, что он сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Так как по условию 4) функция $\psi(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $a’ > a$ такое, что для любого $\xi \in [a’, +\infty)$ выполнено неравенство
$$
\psi(\xi) Замечание 2.

Если $+\infty$ — единственная особая точка сходящегося интеграла \eqref, то этот интеграл сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$ в том и только том случае, когда при любом $a’ > a$ интеграл $\displaystyle\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Поэтому для справедливости утверждения теоремы 2 достаточно, чтобы условия 1)-4) выполнялись на некотором промежутке $[a’, +\infty) \subset [a, +\infty)$.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\frac<\sin x>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $y$ при $y \in [0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как функция $\sin x$ имеет ограниченную первообразную, а при $x \geq 1$, $y \geq 0$ выполнены следующие условия:
$$
\frac<\partial> <\partial x>\left(\frac>\right) =-\frac>>(1+xy) Теорема 3.

(Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Получаем, что для любого $\xi \in [b’, b)$ и для любого $y \in Y$ выполнено неравенство $\displaystyle\left|\int\limits_<\xi>^ f(x, y)\ dx\right| \leq \varepsilon$, из которого следует, что интеграл $\int\limits_^ f(x, y)\ dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$. $\bullet$

Применяя правило построения отрицания, получаем из критерия Коши полезное следствие.

Если существует $\varepsilon_ <0>> 0$ такое, что для любого $b’ \in [a, b)$ существуют $\xi_<0>, \xi’_ <0>\in [b’, b)$ и существует $y_ <0>\in Y$ такие, что
$$
\left|\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> f(x, y_<0>)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,
$$
то интеграл $\displaystyle\int\limits_^ f(x, y)\ dx$ не сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $\alpha$ на множестве $[\alpha_<0>, +\infty)$, $\alpha_ <0>> 0$, и сходится неравномерно на множестве $(0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Пусть $\alpha \geq \alpha_ <0>> 0$. Так как $e^<-\alpha x^<2>> \leq e^ <-\alpha_<0>x^<2>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx$ сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $\alpha$ на множестве $[\alpha_<0>, +\infty)$.

Пусть теперь $\alpha \in (0, +\infty)$. Покажем, что на $(0, +\infty)$ интеграл \eqref сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем $\varepsilon_ <0>= e^<-1>$, для любого $b > 0$ возьмем $\xi_ <0>= b$, $\xi’_ <0>= b+1$, $\alpha_ <0>= 1/(b+1)^<2>$. Тогда
$$
\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx = \int\limits_^ e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx \geq e^ <-\alpha_<0>(b+1)^<2>> \int\limits_^ dx = e^ <-1>= \varepsilon_<0>\nonumber
$$
и, следовательно, интеграл \eqref сходится неравномерно по параметру $\alpha$ на множестве $(0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.

$\vartriangle$ Если функцию $\displaystyle\frac<\sin x>$ доопределить при $x = 0$ по непрерывности, считая, что при $x = 0$ функция $\frac<\sin x>$ принимает значение, равное единице, то подынтегральная функция интеграла \eqref будет непрерывной на множестве $\<(x, y): x \geq 0, y \geq 0\>$.

При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $[0, +\infty)$. В силу теоремы 4 интеграл \eqref есть непрерывная функция параметра $y$ на любом отрезке $[0, b]$. В частности, эта функция непрерывна при $y = 0$, поэтому должно быть выполнено равенство \eqref. $\blacktriangle$

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

$\vartriangle$ Воспользуемся известной формулой
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\sin x\ dx = \frac<1><1+y^<2>>,\ y > 0.\label
$$

Интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[\delta, N]$, где $\delta > 0$. Это следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости, так как
$$
|e^ <-xy>\sin x\ dx| \leq e^<-\delta x>,\quad \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\delta x>\ dx = \frac<1><\delta>.\nonumber
$$
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство \eqref, получаем
$$
\operatorname N-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^<+\infty>\ dx \int\limits_<\delta>^ e^ <-xy>\sin x\ dy = \int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac-e^<-Nx>> \sin x\ dx.\label
$$

Так как $|\sin x| \leq x$ при $x \geq 0$, то
$$
\left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac\sin x>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-Nx>\ dx = \frac<1>.\nonumber
$$
Переходя к пределу при $N \rightarrow +\infty$ в равенстве \eqref, получаем
$$
\frac<\pi><2>-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-\delta x>\frac<\sin x>\ dx.
$$
Воспользовавшись равенством \eqref и переходя к пределу при $\delta \rightarrow +0$, получаем выражение \eqref для интеграла Дирихле. $\blacktriangle$

(Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).

Пусть функции $f(x, y)$ и $f_(x, y)$ непрерывны на множестве $\<(x, y):\ a\leq x Доказательство.

\(\circ$ Пусть $c \leq y \leq d$. Рассмотрим интеграл $\displaystyle\int\limits_^ f_(x, \eta)\ dx$ при $\eta \in [c, y]$.

Покажем, что $C_ <2>= 0$. Так как
$$
|I_<1>(y)| = \left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<|\cos xy|><1+x^<2>>\ dx \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>,\nonumber
$$
то $I_<1>(y)$ есть ограниченная функция на $[\delta, +\infty)$. Так как $e^$ — неограниченная функция на $[\delta, +\infty)$, то в формуле \eqref нужно принять $C_ <2>= 0$.

Замечая, что интеграл Лапласа $I_<1>(y)$ есть четная функция на $(-\infty, +\infty)$, а интеграл $I_<2>(y)$ есть нечетная функция на $(-\infty, +\infty)$, перепишем равенство \eqref в следующем виде:
$$
I_<1>(y) = C_<1>e^<-|y|>,\ I_<2>(y) = C_<1>\ \operatorname\ ye^<-|y|>\ \mbox<при>\ y \neq 0.\label
$$

Для определения произвольной постоянной $C_<1>$ воспользуемся тем, что интеграл Лапласа $I_<1>(y)$ сходится равномерно по параметру $y$ на $(-\infty, +\infty)$ (пример 3). Поэтому $I_<1>(y)$ есть непрерывная функция в точке $y = 0$. Следовательно,
$$
\frac<\pi> <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = I_<1>(0) = \lim_ I_<1>(y) = \lim_ C_<1>e^ <-y>= C_<1>.\nonumber
$$
Теперь формулы \eqref дают, что при любом $y \in \boldsymbol$
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>e^<-|y|>,\\ \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>\ \operatorname\ ye^<-|y|>.\label
$$
То, что формулы \eqref справедливы при $y = 0$, проверяется непосредственно. $\blacktriangle$

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

В теореме 5 была обоснована перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интеграл несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна на множестве $\<(x, y): a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d\>$ и выполнены следующие условия:

Теоремы 4-7 остаются справедливыми и при замене функции $f(x, y)$ на функцию $\psi(x)f(x, y)$, где функция $\psi(x)$ интегрируема по Риману на любом отрезке, лежащем в интервале $(a, b)$.

Если $f(x, y) = \varphi(x, y)+i\psi(x, y)$ есть комплекснозначная функция, то
$$
|\varphi(x, y)| \leq |f(x, y)|,\ |\psi(x, y)| \leq |f(x, y)|.\nonumber
$$

Все условия теоремы будут выполнены и для функций $\varphi(x, y)$ и $\psi(x, y)$, если $f(x, y)$ удовлетворяет условиям теоремы 7. Поэтому оба повторных интеграла от каждой из этих функций существуют и равны. Следовательно, существуют и равны повторные интегралы от функции $f(x, y)$.

Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона (интеграл вероятностей)
$$
I = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-t^<2>> dt.\nonumber
$$

Для обоснования законности изменения порядка интегрирования применим теорему 7. Интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[c, d] \subset (0, +\infty)$ по признаку Вейерштрасса, так как $|ye^<-y^<2>(1+x^<2>)>| \leq de^<-c^<2>(1+x^<2>)>$ а интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>de^<-c^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится.

Аналогично доказывается, что интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится равномерно по параметру $x$ на любом отрезке $[a, b] \subset (0, +\infty)$. Повторный интеграл $\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится в силу равенства \eqref.

Вычислить интегралы Френеля
$$
J_ <1>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\sin x^<2>\ dx,\ J_ <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\cos x^<2>\ dx.
$$

При написании формул \eqref использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств \eqref по параметру $k$ при $k \geq 0$ (признак Дирихле).

Изменение порядка интегрирования при $k > 0$ обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при $k \rightarrow +0$ под знаком интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру $k$ при $k \in [0, +\infty)$ (признак Вейерштрасса). Интегралы $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<4>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\fracdx><1+x^<4>>$ вычислены нами ранее (примеры здесь и здесь). $\blacktriangle$

Источник

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a 0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2 :

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q 1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p 0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено T—QE(1-P)T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

,

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q 1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен , т. е. сходится при p 0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0

, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

расходится (пример 1) при p p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0

Источник