При каких значениях параметра неравенство не имеет решений
Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство выполняется для всех x.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
\left [ <\begin
не содержит ни одного решения неравенства 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра а, при которых неравенство 
выполняется для всех х, таких, что 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству 
хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра p, для которых неравенство 
выполняется хотя бы для одного числа x такого, что | x |
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра a при каждом из которых число целочисленных решений неравенства
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких значениях параметра a все числа из отрезка 
удовлетворяют неравенству 
?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
не имеет положительных решений x.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра а, при которых среди решений неравенства 
найдутся два числа, разность которых равна 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство 
не имеет решений на отрезке [−3; 0].
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых все числа x из отрезка [1; 5] удовлетворяют неравенству 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых для любого значения x выполняется неравенство
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется для любых пар (x; y), таких, что | x | = | y |.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 
справедливо для всех действительных x.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения a при каждом из которых неравенство
имеет ровно одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения a, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства
не меньше 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
имеет единственное решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
При каких значениях параметра a неравенство
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найти все значения параметра а, для которых неравенство 
имеет хотя бы одно решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых для любого х из промежутка 
значение выражения 
не равно значению выражения 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все а, при каждом из которых неравенство 
имеет ровно четыре целочисленных решения (x; у).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Для каждого значения a решите неравенство 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
найдите все значения параметра a, при которых неравенство справедливо для всех действительных x.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 
имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений a выпишите это решение.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции 
больше −2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 
выполняется для любых 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства 
содержит ровно четыре целых значения x.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Для каждого допустимого значения a решите неравенство
Источник
«Методы решения задач с параметрами»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»
Выступление на заседании МО
Методы решения задач
Прокушева Наталья Геннадьевна
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.
Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные методы решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: 
– уравнение прямой с угловым коэффициентом 
. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси 
.
Линейные уравнения с параметрами вида 
Если 
, уравнение имеет единственное решение.
Источник
