при каких значениях х существует логарифм

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

Источник

Логарифм (понятие).

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log_α b, равнозначно решению уравнения a x =b.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log₇2, ln√5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log_-33.2, log_-1-4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Возьмем условие a≠1. Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log_α b может существовать лишь при b=1, но при этом log₁ 1 будет любым действительным числом. Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1.

Докажем необходимость условия a>0. При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0. И соответственно тогда log₀0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0. А при a 0.

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0, поскольку x=log_α b, а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями, которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.

Источник

Логарифмическая функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Пример:

Найти положительный корень уравнения

( По определению арифметического корня имеем-

Пример:

Решить уравнение

Запишем данное уравнение так: откуда х = 4. В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени; Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение таким способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводите понятие логарифма числа.

Лаплас Пьер Симон (1749— 1827)— французский математик, физик и астроном, адъюнкт Французской Академии Наук. После Великой Французской революции принимал активное участие в реорганизации системы образования. Важнейшие направления его исследований — математика, небесная механика и математическая физика. Один из создателей теории вероятностей.

так как так как

так как

Определение логарифма можно кратко записать так:

Это равенство справедливо при b > 0, а > 0, . Его обычно
называют основным логарифмическим тождеством.
Например,

С помощью основного логарифмического тождества можио
показать, например, что является корнем уравнения

В самом деле,

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Пример:

Вычислить

Обозначим По определению логарифма

Так как то ,

откуда
Ответ.

Пример:

Вычислить

Используя свойства степени и основное логарифмическое равенство, находим:

Пример:

Решить уравнение

Но определению логарифма откуда х = — 8.

Пример:

При каких значениях х существует

Так как основание логарифма 5 > 0 и то данный логарифм
существует тогда и только тогда, когда

Получено неравенство, находим 1 Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а>0, , b > 0, с > 0, r —любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

По основному логарифмическому тождеству

1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем:

откуда по определению логарифма

Формула (1) доказана.

2) Разделив равенства (4) и (5), получим:

откуда по определению логарифма следует формула (2).
3) Возводя основное логарифмическое тождество
в степень с показателем r, получаем:

откуда по определению логарифма следует формула (3). •
Приведем примеры применения формул (1) — (3):

Пример:

Вычислить
Применяя формулы (1) — (3), находим:

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы
(таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью
микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только
десятичные или натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln e вместо

Иррациональное число е играет важную роль в математике
и ее приложениях. Число е можно представить как сумму:

Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по
программе:

Вычисления на микрокалькуляторе lg b и ln b проводятся
соответственно по программам:

Например, вычисляя lg 13, получаем:

вычисляя ln 13, получаем:

Оказывается, что достаточно знать значения только десятич­ных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить
логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется
формула перехода от логарифма по одному основанию к
лога­рифму по другому основанию:

Докажем справедливость формулы (1).
Запишем основное логарифмическое тождество
Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию с:

Используя свойство логарифма степени, получаем:

Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы
перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

Пример:

С помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить

1) С помощью десятичных логарифмов:

2) С помощью натуральных логарифмов:

Ответ. ▲

Формула перехода от одного основания логарифма к другому
иногда используется при решении уравнений.

Пример:

Решить уравнение

По формуле перехода

Поэтому уравнение принимает вид откуда ▲

Пример:

Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный
а рублям, через п лет становится равным а
трехпроцент­ный вклад становится равным

Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?

1) Для первого вклада откуда

2. Вычисления проведем на МК-54:

2) Для второго вклада и программа вычислений
такова:

Ответ. По первому вкладу приближенно через 36 лет, а
по второму — через 23,5 года.

Логарифмическая функция и ее график

В математике и ее приложениях часто встречается
логарифмическая функция

где а — заданное число, а > 0, .
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — мно­жество всех положительных чисел.
Это следует из определения логарифма, так как выражение ; имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительного числа
b есть такое положительное число х, что , т. е. уравне­ние имеет корень. Такой корень существует и равен так как

Пользуясь основным логарифмическим
тождеством, условие можно записать так: Из этого неравенства по свойству степени с основанием a > 1 следует, что

Пусть 0 1, то функция принимает положи­тельные значения при х >1, отрицательные — при 0 1.

Это следует из того, что функция принимает
зна­чение, равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на про­межутке x > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 1, и на рисунке 8, если 0

На рисунке 9 изображен график функции а на рисунке 10 — график функции

Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку ( 1 ; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема:

Если где a > 0, , то

Предположим, что например Если a > 1, то из неравенства следует, что если
0 0 и возрастает, то неравенство выполняется при х > 0 и x 0 и

Ответ.

Обратная функция

Известно, что зависимость скорости v от времени t движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью выражается
формулой

Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от скорости: Функцию называют обратной к функции а функ­цию v (t) — обратной к функции t (v ). Отметим, что в этом примере каждому значению t соответствует единственное значение v и, наоборот, каждому значению v соответствует единственное зна­чение t.

Рассмотрим теперь показательную и логарифмическую
функции. Обозначим символом f(х) показательную функцию,
a g (х) — логарифмическую функцию:

где а — заданное число, а > 0, .

Решим уравнение относительно х. По определению
логарифма Поменяв в этом равенстве местами х и у,
получим логарифмическую функцию Функцию называют обратной к функции Если из равенства найти х, то получим , а поменяв местами х и у — показа­тельную функцию Функцию называют обратной к функции . Поэтому функции f (х) и g (х) называют взаимно обратными.

Вообще если функция y = f(x) задана формулой, то для
нахождения обратной функции нужно решить уравнение
f (x) = у относительно х и затем поменять местами х и у.

Если уравнение f(x)= y имеет более чем один корень, то
функции, обратной к y = f (x), не существует.

Например, функция не имеет обратной, так как
уравнение имеет два корня для любого
у > 0.
Если функцию рассматривать только на промежутке , то она будет иметь обратную так как уравнение при имеет только один неотрицательный корень.

Пример:

Найти функцию, обратную к функции

Решая это уравнение относительно х, получаем
Заменив х на у и у на х, находим

В этой задаче область определения функции есть
множество действительных чисел, не равных 2, а множество ее значений — все действительные числа, не равные 0. График этой
функции изображен на рисунке 11.
Для обратной функции область определения —
мно­жество действительных чисел, не равных 0, а множество значе­ний — все действительные числа, не равные 2. График обратной функции изображен на рисунке 12.

Вообще область определения обратной функции совпадает
с множеством значений исходной функции, а множество
зна­чений обратной функции совпадает с областью определения
исходной функции.
Можно показать, что если функция имеет обратную, то
график обратной функции симметричен графику данной
функ­ции относительно прямой у = х.
Примеры графиков взаимно обратных функций показаны на
рисунке 13.

Логарифмические уравнения

Пример:

Предположим, что х — такое число, при котором равенство ( 1 ) является верным, т. е. х — корень уравнения ( 1 ).
Тогда по свойству логарифма верно равенство

Из этого равенства по определению логарифма получаем:

откуда т. е.

Последнее равенство верно, если или

т. е. х = 1 — корень уравнения ( 1 ).

Заметим, что х = — 5 является корнем уравнения (2), так
как

Получилось, что число х = 1 является корнем обоих уравнений
( 1 ) и (2), а число х = — 5 не является корнем уравнения (1 ), но является корнем уравнения (2). Таким образом, при переходе от уравнения (1) к уравнению (2 ) корень х = 1 сохранился и появился посторонний корень х = —5. В этом случае уравнение (2) называют следствием уравнения (1 ).

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Отметим, что в уравнении, которое является следствием
данного, не всегда появляются посторонние корни; важно лишь
то, чтобы корни исходного уравнения не терялись.

В большинстве случаев, как и в задаче 1, уравнения ре­шаются постепенным переходом к более простым уравнениям,
которые являются следствием исходного уравнения. В таких
случаях после нахождения корней необходима их проверка.

Пример:

Перенесем логарифм из правой части в левую;

Решая это уравнение, получаем

Число не является корнем исходного уравнения, так
как при x = 5 левая и правая части уравнения теряю т смысл.
Проверка показывает, что число х = — 1 является корнем
исход­ного уравнения.
Ответ. х = — 1. ▲

Пример:

По свойству логарифмов

Проверка показывает, что оба значения x
явля­ются корнями исходного уравнения.
Ответ. ▲

Проверкой можно убедиться в том, что числа являются корнями не только уравнений (6) и (3), но и уравнений
(4) и (5). Все эти уравнения других корней не имеют. Такие
уравнения называют равносильными.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
называют равносильными.
В частности, два уравнения, не имеющие корней, являются
равносильными.

Отметим, что любое из двух равносильных уравнений является следствием другого.
Большинство уравнений, с которыми вы встречались в курсе
алгебры, решались с помощью перехода от данного уравнения
к равносильному. Так решались уравнения первой степени с
одним неизвестным, квадратные уравнения, показательные
уравне­ния.

Напомним, что уравнение заменяется ему равносильным при
следующих преобразованиях:
любой член уравнения можно переносить из одной части
в другую, изменив его знак на противоположный;
обе части уравнения можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю.

Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется
на равносильное. Например, при возведении обеих частей
уравне­ния в квадрат получается уравнение , которое является следствием первого, но не равносильным ему. Поэтому после решения второго уравнения необходимо проверить, яв­ляются ли его корни корнями исходного уравнения.

Пример:

Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма,
получаем:

откуда х = — 2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = — 2
левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.
Ответ. Корней нет.

Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе
от равенства логарифмов к равенству чисел не было учтено
требование, чтобы эти числа были положительными.
Рассмотренные примеры логарифмических уравнений
показы­вают, что при их решении с использованием свойств логарифмов получаются уравнения, которые являются следствиями исход­ного. Поэтому необходима проверка, которая позволяет
обна­ружить посторонние корни. ▲

Пример:

Преобразуем данное уравнение:

Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения
к нулю, получаем:

Проверка показывает, что оба значения х являются корнями
исходного уравнения.
Ответ.

Отметим, что если обе части уравнения (7) разделить на
выражение то будет потерян корень х = 1.

Вообще при делении обеих частей уравнения на выраже­ние, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней.
Поэтому уравнение, обе части которого содержат общий
мно­житель, решают переносом всех членов в одну часть и
разло­жением на множители.

При решении уравнений главное не потерять корни, а на­личие посторонних корней можно установить проверкой. По­этому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Пример:

Решить систему уравнений

Из первого уравнения выразим х через Подставив х = 2у во второе уравнение системы,

получим откуда

Найдем значения х : Проверкой убеждаемся,
что — решение системы, а ( — 4; —2) — постороннее
решение.
Ответ.

Логарифмические неравенства

При изучении логарифмической функции рассматривались
неравенства вида и

Приведем примеры ре­шения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений.

Пример:

Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть — при x + 1 > 0, т. е. при х > — 1.
Промежуток х > — 1 называют областью определения нера­венства (1). Так как логарифмическая функция с основанием
10 возрастающая, то неравенство ( 1 ) при условии x + 1 > 0
выполняется, если (так как 2 = lg 100). Таким
об­разом, неравенство ( 1 ) равносильно системе неравенств

т. е. неравенство ( 1 ) и система (2) имеют одно и то же множество решений. Решая систему (2), находим

Пример:

Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х — 3 > 0 и х — 2 > 0.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если

Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств

Решая первое неравенство этой системы, получаем откуда

Пример:

Область определения неравенства находится из условия

Неравенство (5) можно записать в следующем виде:

Так как логарифмическая функция с основанием является
убывающей, то для всех х из области определения неравенства
получаем:

Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств

Решая первое квадратное неравенство, получаем х 2 (рис. 15). Решая второе квадратное неравенство, полу­чаем (рис. 16). Следовательно, оба неравенства систе­
мы выполняются одновременно при и при . (рис. 17).
Ответ.

Определение:

Логарифмом числа а по основанию b называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b.

В качестве основания мы будем всегда брать положительное число а, отличное от 1.

В записи b = число а является основанием степени, t — показателем, b — степенью. Число t — это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b. Следовательно, t — это логарифм числа b по основанию а:

Можно сказать, что формулы = b и t = равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, t и b (при а>0, а ≠ 1, b>0). Число t — произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.

Подставляя в равенство = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством:

Представляя в равенстве выражение b в виде степени, получим еще одно тождество:

Свойства логарифмов

Теорема:

Верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:

1), т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;

2) т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;

3) т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.

Доказательство:

Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем для примера первое свойство.

Обозначим По основному логарифмическому тождеству имеем:

Перемножим эти равенства: По свойству степеней

По определению логарифма t1+ t2 = т. е. что и требовалось доказать. Свойства 2 и 3 выведите самостоятельно.

Свойства степеней и логарифмов тесно связаны между собой. Они фактически выражают одно и то же, только один раз мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а другой — на поведение показателей:

С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.
Примеры.

Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием.

Примеры:

Замечание. Запись имеет смысл лишь при b> 0. Поэтому в тождествах, отражающих свойства логарифмов, все выражения, стоящие под знаком логарифма, будем считать положительными. При логарифмировании буквенных выражений надо их раскладывать на множители так, чтобы все множители были положительны. Например, пусть необходимо прологарифмировать выражение А=х(х — 1). Сделать это можно лишь тогда, когда А >0, т. е. когда либо х 1. Если х> 1, то оба множителя х и х— 1 положительны и мы можем записать:

Если же х

Аналогично при ( —x) при x

Модуль перехода

В вычислениях в качестве основания а часто берется число а=10. В то же время зачастую необходимы вычисления степеней и логарифмов с разными основаниями. Возникает вопрос: как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями?

Пусть дана степень b = . Мы хотим перейти к новому основанию с, т. е. записать число в виде сх при некотором х. Записав равенство и прологарифмировав его по основанию а, получим , откуда Так как = b, = b, то можно с помощью логарифмов записать: , , откуда

Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому.

Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально. Коэффициент пропорциональности называют модулем перехода.

Отметим простые следствия выведенной формулы:

1) (положим в формуле перехода b = а)

2) (положим в формуле перехода с = аk)

3) (положим в предыдущей формуле k=-l).

С помощью логарифмов все степени можно привести к одному основанию. Если в качестве основания берется число a =10, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком lg и называются десятичными. Можно записать:

Если в качестве основания берется число е, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком ln и называются натуральными:

Значения модулей перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот таковы:

Исследование логарифмической функции

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида

Напомним, что в качестве основания логарифмов выбирается число а> 0, отличное от 1.

Основные свойства логарифмической функции (схема X).

Графики функций симметричны друг другу относительно прямой у = х. Действительно, если точка Р <с; d) лежит на графике функции у = ах, то d = ac. Но тогда и точка Q

Так как точки Р (с; d) и Q (d; с) симметричны относительно прямой у = х (рис. 109), то симметричны и графики показательной и логарифмической функций.

Вместо логарифмических функций с произвольным основанием удобно рассматривать функции вида у = с ln х. Так как то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Функция у = ln х растет с ростом х, однако медленнее, чем любая степенная функция вида (k>0), в частности медленнее, чем (схема IX).

Производная логарифмической функции

Рассмотрим две функции у = и у = ln х. Мы знаем, что их графики симметричны относительно прямой у = х. Это поможет нам найти производную логарифмической функции, зная производную экспоненты. Возьмем точку Р (с; d) на графике экспоненты (т. е. d = ec) и симметричную точку Q (d; с) на графике логарифмической функции (т. е. c = lnd). Касательные к графикам в этих точках тоже будут симметричны (рис. 109). Угловой коэффициент k1 касательной к графику экспоненты равен значению производной функции у = ех при х = с, т. е. k1=ec, так как

Пусть a1 и а2 — углы, образованные проведенными касательными с осью абсцисс. Из рисунка 109 ясно, что

Таким образом, производная функции у = ln х в точке x = d равна

Мы видим, что производная логарифмической функции y = ln х равна степенной функции . Интересно заметить, что функция не получается как производная какой-либо другой степенной функции вида у = схк. Действительно, хотя при любом к, но получить значение к— 1, равное —1, можно лишь при k = 0, а (x°)’ = 0.

Так как то

По формулам производной показательной функции и

Примеры:

Зная производные экспоненты и логарифма, можно получить приближенные формулы для их вычисления.

Пусть

Разность —это приращение у на отрезке [0; h]. Вычислив dy при хо = 0, получим dy = y’ (0) dx. Так как у’ = ех, то у'(0)= 1. Заменив ∆у на dy и подставив dx = h, получим приближенную формулу

Более точная формула для вычисления экспоненты такова:

Пусть теперь у =lnх. Выберем дго=1, xо = ln l =0. Положим dx = h и вычислим ln (l+h). Найдем dy при xo=1. Так как

(In то y’ (jc0)= 1 и dy= 1 •dx = h.

Заменяя ∆y= ln (1+h) — ln l = ln (l+h), получаем приближенную формулу

Более точная формула для вычисления логарифма такова:

Вычисление логарифмов

Более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство — способность сводить умножение к сложению по формуле

Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых можно легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно.

Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Бриггса. Генри Бриггс (1561 —1630) с очень большой точностью (16 знаков после запятой) извлек подряд 57 квадратных корней из 10 и получил значения

Комбинируя эти значения, он получил густую сетку чисел с известными десятичными логарифмами: и т. п. После этого десятичный логарифм любого числа х из промежутка [1; 10] с хорошей точностью находится округлением до ближайшего известного.

Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Любопытно, что немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550—1617).

С появлением ЭВМ ситуация переменилась. Умножение по-прежнему выполняется дольше, чем сложение, но логарифмирование требует еще больше времени. Поиск числа в таблице очень дорогая операция для ЭВМ. Поэтому теперь значение логарифмов как инструмента вычисления резко упало, а с распространением калькуляторов оно сходит на нет. С другой стороны, сами по себе логарифмические зависимости легко обрабатываются и используются при вычислениях на ЭВМ. Например, формула xk = exp(k ln x) служит основным средством возведения в степень (кроме k= l, 2, 3) на всех ЭВМ и на калькуляторах.

На современных ЭВМ (и на калькуляторах) значения In х и вычисляют, пользуясь заранее найденными приближенными формулами. По этим формулам вычисление логарифмов становится довольно простым. Пользователю ЭВМ никогда не приходится думать о вычислении логарифмов: на всех ЭВМ для этого имеются стандартные программы.

Прикладные примеры

Во вводной беседе мы уже говорили о том, что многие процессы описываются с помощью показательных функций. Почему так происходит, это мы обсудим в следующей главе, а сейчас приведем примеры зависимостей, в которых встречаются экспоненты и логарифмы.

Вычислим значение m при t — Т. Так,

Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полураспада радия равен 1600 лет, урана-238 — 4,5 млрд. лет, цезия-137 —31 год, иода-131 —8 суток.

Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде . Связь константы т с периодом полураспада нетрудно найти:

2. Рост народонаселения. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где Nо — число людей при t= 0, N — число людей в момент времени t, а — некоторая константа.

Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону где ро — давление на уровне моря (А = 0), р — давление на высоте h, H — некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 °С величина Н ≈ 7,7 км.

4. Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты у с ее массой m, такова: , где vr — скорость вылетающих газов, mо — стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и, для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т. е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

5. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле где po — давление звука до поглощения, р — давление звука, прошедшего через стену, А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например, 20 дБ, то это означает, что =1 и po = 10 p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

Дополнение к логарифмической функции

Логарифмическая функция

Определение логарифма: Логарифмом числа N по данному основанию а называется такой показатель степени, в который надо возвести основание а, чтобы получить число N; запись

Примеры:

Таким образом, это другое название для показателя степени.

Примеры:

1. Проверить справедливость следующих равенств:

Решение:

следовательно, равенства

б), г), е) верны; следовательно, следовательно,

2.Следующие равенства переписать в виде логарифмических равенств:

Решение:

Указать, какие из нижеследующих уравнений имеют решение. Запишите это решение с помощью логарифма:

Решение:

а) Уравнение можно переписать в вид откуда х = —6, или

б) Уравнение также имеет решение Так как

в) Уравнение не имеет решения (показательная функция не может принимать отрицательных значений). Таким образом, выражение не имеет смысла.

Десятичные логарифмы

Если основанием логарифмов служит число 10, то такие логарифмы называются десятичными. Десятичный логарифм числа N принято обозначать

Примеры:

Найти десятичные логарифмы следующих чисел:

Решение:

Так как Аналогично: поэтому наконец,

2.Решить следующие уравнения:

Решение:

Функция

Функция является монотонно возрастающей, поэтому у нее есть обратная функция. Для того чтобы найти эту обратную функцию, поменяем в равенстве переменные х и у местами. Получим откуда Этой формулой задается функция, обратная показательной функции Как отмечалось выше (см. стр. 118), графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х—биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 88). Отметим основные свойства функции

1.Областью определения функции является множество всех положительных чисел.

2.Областью значений функции является множество всех действительных чисел.

Справедливость этих двух свойств вытекает из того факта, что функции являются взаимно обратными и, следовательно, область определения и множество значений у них меняются местами.

3.Функция является монотонно возрастающей (большему числу соответствует больший логарифм).

4.При (график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0)); если то (рис. 88).

Примеры:

1. На рис. 89 изображен график функции в случае, когда масштаб по оси Оу в 10 раз крупнее масштаба по оси Ох. Воспользовавшись этим графиком:

а) найти б) найти х, если

Решение:

не существует, так как

б) если

Если

2.Сравнить значения выражений:

Решение:

а) Функция возрастающая, значит, так как то, следовательно, б) так как в) так как

3.Решить уравнения и неравенства:

Решение:

Воспользовавшись изображенным на рис. 89 графиком функции получим следующие результаты:

4.Найти область определения функции:

Решение:

При решении этих примеров надо помнить о том, что область определения функции есть множество положительных чисел.

Таким образом областью определения служит множество

Область определения —объединение двух множеств

Область определения —множество

Выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно при всех значениях х, кроме х = 2 (при котором оно обращается в ноль), а поэтому область определения этой функции есть множество

Решение:

а) Так как то уравнение можно переписать в виде Далее из свойства монотонности функции вытекает, что эта функция каждое значение принимает только один раз. Следовательно, откуда х = 4.

Аналогично решаются и остальные уравнения;

т.е. данное уравнение может быть записано в виде откуда

поэтому откуда

поэтому откуда или

поэтому откуда или

Логарифмирование и потенцирование

Применение логарифмов позволяет во многих случаях значительно упростить вычисления. Чтобы убедиться в этом, прежде всего выясним, как находятся логарифмы произведения, частного, степени и корня.

Теорема:

Логарифм произведения любых двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей, т. е.

Доказательство:

Пусть Тогда по определению логарифма Перемножив эти равенства почленно, получим

Предлагаем читателю самому доказать, что установленное свойство справедливо для любого числа положительных множителей.

Теорема:

Логарифм степени с положительным основанием равен произведению показателя степени и логарифма ее основания, т. е.

Доказательство:

Пусть Тогда по определению логарифма Возведем обе части этого равенства в степень Следовательно,

Покажем, что знания этих теорем достаточно для нахождения логарифмов дроби и корня. Действительно, пусть дано выражение где Это выражение можно переписать в виде тогда

Пусть теперь дано выражение тогда Таким образом, если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то его логарифм можно выразить через логарифмы входящих в него чисел. Такое преобразование называется логарифмированием. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием.

Примеры:

1. Найти приближенные значения следующих логарифмов:

Решение:

Прежде всего, воспользовавшись графиком функции (см. рис. 89), выпишем приближенные значения следующих логарифмов:

2.Прологарифмировать следующие выражения (буквами обозначены положительные числа):

Решение:

Решение:

а) Прологарифмировав обе части данного равенства, получим откуда (значения найдены графически с помощью рис. 89);

б) в результате логарифмирования имеем равенство откуда (значение найдено с помощью рис. 89);

4.Найти x, если:

Решение:

Решение:

а) Потенцируя обе части равенства, получаем уравнение

Сделаем проверку. Подставив в уравнение найденное решение х = 21, получим:

Таким образом, корень данного уравнения x=21;

б) прежде чем потенцировать, заметим, что и перепишем уравнение в виде

Сделаем проверку: Итак, х= 14 —корень уравнения; в) потенцируя, получаем

Сделаем проверку. Корень является посторонним, так как при этом значении x выражение 2х—4 будет отрицательным, а, как мы знаем, область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

Корень x = 5, как легко видеть, удовлетворяет уравнению (Проверьте сами!);

г) уравнение не имеет корней, так как искомое значение х должно удовлетворять системе неравенств

а эта система противоречива и решения не имеет.

Стандартный вид числа. Характеристика и мантисса

Любое положительное число х можно записать в так называемом стандартном виде: Число n называется порядком числа х.

Примеры:

Записать следующие числа в стандартном виде и указать их порядок: а) 273; б) 51,83; в) 0,8912; г) 400012; д) 0,00051; е) 1,002.

Решение:

Легко видеть, что если то порядок числа неотрицателен, причем трехзначное число, например 273, имеет порядок 2; а число, содержащее две цифры в целой части, например 51,83, имеет порядок n= 1; наконец, число, содержащее одну цифру в целой части, имеет порядок n= 0. Можно сделать следующий вывод: если число содержит в целой части m цифр, то его порядок будет

Если же число то его порядок отрицателен, причем равен числу нулей в x: до первой значащей цифры, включая ноль целых. Так, если x: = 0,8912, то n = —1; если х = 0,00051, то n = —4.

Пример:

Не переходя к стандартному виду записи, найти порядок чисел: а) х = 373,25; б) x: = 0,00085.

Решение:

а) Число 373,25 больше единицы и содержит в целой части три цифры. Следовательно, его порядок n= 2;

б) число 0,00085 меньше единицы и содержит четыре нуля до первой значащей цифры. Следовательно, n =—4.

Пусть х=375,8. Запишем это число в стандартном виде и найдем его логарифм:

Так как т. е. Таким образом, представлен в виде суммы целого числа 2 и положительного числа, меньшего единицы т. е. в виде суммы его целой и дробной частей. Целая часть логарифма числа х равна порядку этого числа, а дробная часть равна

Целая часть логарифма числа называется его характеристикой, а дробная часть — мантиссой.

Теорема:

Характеристика логарифма числа где равна порядку этого числа, т. е. n, а мантисса равна

Доказательство:

Пусть и Тогда Так как Следовательно, причем

Следствие:

Логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу.

Доказательство:

Пусть где тогда

Например, пусть Запишем эти числа в стандартном виде и найдем их логарифмы:

Таким образом, доказанное следствие можно сформулировать иначе: мантисса логарифма числа не зависит от положения запятой в числе.

Примеры:

1. Найти характеристику логарифма числа а) 302;б) 87,5; в) 0,015.

Решение:

Как было доказано Выше, характеристика логарифма числа равна его порядку, а поэтому

2.Зная, что найти:

Решение:

Вычисления с помощью таблиц логарифмов

Как известно, характеристика логарифма числа легко находится устно (она равна порядку числа). Значения мантисс приведены в таблице «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса. Приведем часть этой таблицы и укажем как ею пользоваться.

Примеры:

1. Найти логарифмы следующих чисел:

Решение:

а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:

Для отыскания мантиссы мы, прочитав число 8739 на пересечении строки с меткой «74» и столбца с меткой «8», прибавим к этому числу поправку на четвертую цифру. Эта поправка расположена в правой части таблицы на пересечении той же строки и столбца поправок с меткой «5». Поправка равна 3, следовательно, мантисса равна Таким образом,

Для решения обратной задачи —нахождения числа по его логарифму пользуются таблицей, с которой мы уже знакомы (см. стр. 198)4

2.Найти x:, если:

Решение:

а) По таблице значений функции найдем число 1,077, соответствующее мантиссе равной 0,0324. Так как характеристика логарифма равна 2, то

б) представим данный логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы:

Мантиссу 0,0335 имеет любое число вида Характеристика равна —3, поэтому

В заключение приведем пример вычисления с помощью таблиц логарифмов.

3.Вычислить значение х, если

Решение:

По таблице логарифмов найдем:

Решение:

а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник