при каких значениях а прямая касается кривой

При каких значениях а прямая касается кривой

Найдите все значения параметра 3ded2184a3e467984dba5788f82cc430при каждом из которых система

997c872a66c69e5e28ee124d4be42d5b

имеет ровно 1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dcрешений.

Преобразуем систему, получим:

841c8c0fbca1ad1cc6eb3eac198bcac8

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

b18f6e67f030e14996e98c0b857a2ca8

Второе уравнение задает окружность радиусом dac58885b42dda89f2cecff1e86d3dfcс центром accaaf153e636cfc219a9452fef9091fНа рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки ea4ca8674b25613e1d6aec82bc6d0c88и 4670774a273392d37fa1b92848f4e718пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен c59471f3ce70ca3107957a84ae0d3d9dоткуда ec4813201d54837a97eb255b9c70ea6cили b974388f7d5ec29004a76bf40d90b202

Ответ: 19905a2314f5eb8c0ab3d803b7759411

Найдите все значения a, при каждом из которых система

8b143949c5e3904f0c14b6f081d94c65

имеет ровно два различных решения.

Решим первое уравнение:

91906cff0fabcc34a78cb3ccdab08797

209f7e37bc7d2354b1d350551b089691

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

0130a3488610fe8dcfc4159ef236cb43

Так как 0730830e14b1e7dfc967acf43c0f4fdeто при 090a81f774fa8c4020c549ab654a32f7корней нет, при 64628f167272104e0dda231ee3dcff76получаем один корень 9d7ce6113aeeb8038b7e42fefde31428при 0cbb4687c0d123a4f971a5d58de02b9eполучаем два различных корня. У параболы 549d40650ffb4cbbca52b4f42af34db9— ветви вверх, абсцисса вершины равна 3970f7491ca5e90a2812a84d5a3bc836

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда eff30a6769fc4af2ccdebed4ac8a7b39с учётом 3a4c253686a3992f4f8b58de5f3fe9cfиз 6794d6faf8108463f20e52471cfb5c66получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ: 47662fb2216153fabf0356f02b7a249f

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Можете объяснить, как мы из yx^2+y^2-2y-63+7x^2=0 получили (y+7)(y+x^2-9)=0 Всё никак не удаётся преобразовать к такому виду.

ee8ea35962176820fee4f693ec04f83f

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

90b9a89e87158bd8543fa071cf10920a

имеет ровно два различных решения.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

7ad3235a595f4ad41ae495314333cc5a

При 975ed44758e03703eac499b7eecfb8f8левая часть не имеет смысла. При cc6fa44d2dd762c28cfa1c72e937efd8уравнение задаёт прямую 9830b0ed5a957ff5ebfc7624a5ed45c5и гиперболу 623b04d45c26bcf2cdf6d78be8a7895a(см. рис.). При каждом значении a уравнение d38138d655b44f7560b26504c31bdb11задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой 9830b0ed5a957ff5ebfc7624a5ed45c5и гиперболы 84fbaaf60589b542c0ffa75184f51b7aс прямой d38138d655b44f7560b26504c31bdb11при условии 4ddf82027a7e717648e333e704048ce0

Прямая d38138d655b44f7560b26504c31bdb11пересекает прямую 9830b0ed5a957ff5ebfc7624a5ed45c5при 915addde368d6c72b2c5a255c655d713и при 20b0570662b2c42c6b2fbebf3d8602a1пересекает правую ветвь гиперболы при 904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0пересекает левую ветвь гиперболы при 40bc647350e45b68bc919fd3da7499bcпроходит через точку пересечения прямой 9830b0ed5a957ff5ebfc7624a5ed45c5и гиперболы при 2a1b71b785c0cb14bb665bfef5a37b68

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при f6aaf1ae5a26c21e56e148501b257b0aи при 77df3ec577b956f6d7f7e6e9dfa19c88

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

7ad3235a595f4ad41ae495314333cc5a

Тогда исходная система равносильна следующей:

08674a54a264e776733f2df1adb749c5

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень 3554f97433effa36206e3ab7d9e83a49который удовлетворяет системе при 43f77cc5bd99f41fc1d774599f3a9b33Второе уравнение имеет два различных корня fe7d19b729c30bf13d39f764936f229fтолько при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 5978def223d8dabd8502e0442174da65Таким образом система будет иметь два различных решения при 268c03e5074ea482682c9f4ee3cda4c8Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 51e29b3b148882d86fae8243a2df9d88это происходит при a = 1.

Ответ: 6818f320a3be4f905f6d821e1aec0758

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

681c1077d86617fa20152b4069b54061

имеет единственное решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

92c07bf286880e507aaaadeb78f65dda

имеет ровно два различных решения.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

001db109992998aaed2ba472f33bf7f3

При 0e976af97fbc52f97a63f6c5c4b779b2левая часть не имеет смысла. При e7ff1900efa5080a7bd8a3e36695a673уравнение задаёт прямую 2afffe4b624abdd27735b7626f7a810dи гиперболу 27d88c02719822c30b25c226befd7a7f(см. рис.). При каждом значении a уравнение d38138d655b44f7560b26504c31bdb11задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

При e7ff1900efa5080a7bd8a3e36695a673такая прямая пересекает прямую 2afffe4b624abdd27735b7626f7a810dпри c28cfc6ac99fd2a871129ade357cc31fи 904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0пересекает правую ветвь гиперболы 63d1c63eb2d1df7dda624c4b1ec79e5eпри 904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0пересекает левую ветвь гиперболы 63d1c63eb2d1df7dda624c4b1ec79e5eпри a8a79998cba1eb91d734dcb65dc57578При этом прямая d38138d655b44f7560b26504c31bdb11проходит через точку пересечения прямой 2afffe4b624abdd27735b7626f7a810dи гиперболы 63d1c63eb2d1df7dda624c4b1ec79e5eпри 39245a0c4dfdf26b2e0665c996acde39

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой 2afffe4b624abdd27735b7626f7a810dи гиперболы 63d1c63eb2d1df7dda624c4b1ec79e5eс прямой d38138d655b44f7560b26504c31bdb11при условии 4bee927395a32585c8eea337ab974397

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 6d879e6d12c89fedd05ae1ec634ab5b7и при f4dce06201be78551d6309fa41d9201f

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

001db109992998aaed2ba472f33bf7f3

Тогда исходная система равносильна следующей:

408e4d640e505cd712a594b23a60f459

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень a7d141f68bc749c81d377dc878efdcaaкоторый удовлетворяет системе при 26a124a42d4d4a85a43137245d4a39acВторое уравнение имеет два различных корня 15026f5198eb2be97cfa3d0a7ec9144dтолько при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 33eb7baa9edafd9dc3a292c1fd7c3100Таким образом система будет иметь два различных решения при 0ae12dd22e9785206ca6bd7681680365Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 424764460a398b2d7dd9270de9fbe62bэто происходит при a = 3.

Ответ: ec077e7568c052d5015b64c5ebf12657

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

681c1077d86617fa20152b4069b54061

имеет единственное решение.

Аналоги к заданию № 513610: 513629 514510 514517 Все

Источник

Задачи для самостоятельного решения

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой image025

Ответ: image026

6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ: image027

9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

11. В каких точках касательная к графику функции image028образует с осью Ox угол в 135°?

12. В точке A(1; 8) к кривой image029проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ: image030

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции image031параллельными оси абсцисс.

Ответ: image032

15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).

16. На графике функции image033найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ: image034

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.

Ответ: image035

24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x 2 + 3x – 3 и y = x 2 + 2x + 3.

Ответ: image036

25. При каком значении k угол между кривыми y = x 2 + 2x + k и y = x 2 + 4x + 4 будет равен 45°?

26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны.

Ответ: image037

27. Под каким углом видна окружность x 2 + y 2 = 16 из точки (8; 0)?

Ответ: image038

28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x 2 видна под прямым углом?

Ответ: прямая image039

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции image040образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ: image041

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Источник

Уравнение касательной к графику функции

Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. Тут, на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.

На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.

Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:

а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).

В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:

1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2]. Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид

(сравните с y = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f ‘(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f ‘(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.

Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].

no16 03Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции no16 01в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как no16 02

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

no16 04Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f ‘(x) = 3x 2 – 6x, f ‘(a) = 3a 2 – 6a.

no16 05Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

no16 06Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f ‘(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

no16 071. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то no16 08– угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

no16 09

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен no16 10.

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

no16 11

1. no16 12– абсцисса второй точки касания.
2. no16 13
3. no16 14
4. no16 15
no16 16– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1.

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

no16 17

no16 18Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции no16 19
2.no16 20
3. f ‘(c) = c.
4. no16 21

Так как касательные общие, то

no16 22

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?

Составим и решим систему уравнений

no16 23

Ответ: no16 24

Задачи для самостоятельного решения

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой no16 25

Ответ: no16 26

6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ: no16 27

9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

11. В каких точках касательная к графику функции no16 28образует с осью Ox угол в 135°?

12. В точке A(1; 8) к кривой no16 29проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ: no16 30

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции no16 31параллельными оси абсцисс.

Ответ: no16 32

15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (– 6).

16. На графике функции no16 33найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ: no16 34

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.

Ответ: no16 35

24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x 2 + 3x – 3 и y = x 2 + 2x + 3.

Ответ: no16 36

25. При каком значении k угол между кривыми y = x 2 + 2x + k и y = x 2 + 4x + 4 будет равен 45°?

26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны.

Ответ: no16 37

27. Под каким углом видна окружность x 2 + y 2 = 16 из точки (8; 0)?

Ответ: no16 38

28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x 2 видна под прямым углом?

Ответ: прямая no16 39

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции no16 40образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ: no16 41

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема «Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. – М., МГУ, 1968.

Источник

admin
Производства
Adblock
detector