при каких значениях а квадратный трехчлен принимает только положительные значения

Квадратный трехчлен в математике с примерами решения, разложения и образцами выполнения

Квадратный трехчлен – это многочлен вида a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ).

lfirmal 3

Исследование квадратного трёхчлена

Задача:

C аэростата, находящегося на высоте 1000 м, сбросили груз со скоростью 20 м в секунду. На каком расстоянии от земли этот груз будет через 15 сек.? (Сопротивление воздуха в расчёт не принимается.)

Путь, проходимый падающим телом, вычисляется по формуле: image 33562(1)
где image 33566— начальная скорость, a g=9,8 м/сек²—ускорение силы тяжести.

Такой путь пройдёт падающий груз за t секунд. Значит, через t секунд он будет находиться на высоте
x=1000-20t— 4,9t² (3)
метров от земли. Чтобы определить х — высоту груза над землёй через 15 сек., очевидно, достаточно в (3) подставить t = 15 и произвести вычисления. Получим:
x = 1000-20∙15-4,9∙15²= —402,5.

Отрицательное значение х здесь не имеет смысла, и, следовательно, наша задача не имеет решения. Почему так получилось? Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, через сколько секунд сброшенный груз упадёт на землю? Очевидно, это произойдёт в тот момент, когда груз пройдёт путь, равный высоте, с которой он был сброшен, т. е. 1000 м. Значит, мы должны иметь:
20t- 4,9t² =1000,
или
4,9t² +20t-1000= 0. (4)

Решив это уравнение, найдём t =12,4 сек. (с точностью доimage 33479). Берём только положительный корень. Значит, через 12,4 сек. груз уже упал на землю, а потому вопрос задачи не имеет смысла.

При каких же значениях t задача допускает вполне определённое решение? Очевидно, только для тех значений, при которых путь, пройденный грузом, меньше 1000 м, т. е. при условии, что
4,9t²+20t Квадратный трёхчлен, имеющий действительные различные корни

Пример:

Пусть дан трёхчлен:
y=2x² — 7x+3. (1)

Требуется определить, при каких значениях х этот трёхчлен будет иметь положительные и при каких отрицательные значения.

Мы знаем, что всякий квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения коэффициента при х² и разностей между переменным и корнями трёхчлена.

Найдём корни данного трёхчлена, для чего решим уравнение
2x² — 7x+3=0. (2)

Получим: image 33682; x₂=3 (через x₁ будем в дальнейшем обозначать меньший из действительных корней). Тогда данный трёхчлен можно представить в таком виде:
image 33685(3)

Исследуем теперь, при каких значениях х это произведение будет числом положительным и при каких отрицательным. Разберём три случая.

1. Пусть image 33693, тогда и подавно x 3, тогда и подавно image 33728. Отсюда получаем:
х — 3 >> 0 и хimage 33729

Произведение image 33737, а следовательно, и произведение
image 33741будут положительными числами. Значит, при х>3
данный трёхчлен — число положительное. Итак, мы пришли к следующему выводу. Трёхчлен 2x²-7x+3 имеет положительные значения при всех значениях х, меньших image 33749, и при всех значениях х, больших 3. Трёхчлен имеет отрицательные значения при всех значениях х, заключённых между image 33749и 3.

Проверка сделанных выводов на некоторых числовых значениях х дана в следующей таблице, где в верхней строке даны значения х, а в нижней — соответствующие значения трёхчлена:

x -5 -3 -1 0 1 2 4 7 10
2x²-7х+3 88 42 12 3 -2 -3 7 52 133

К тем же результатам мы придём, если рассмотрим график трёхчлена 2x²-7х+3. Мы знаем, что этим графиком является парабола, пересекающая ось x-ов в точках, абсциссы которых равны image 33749и 3. Из рассмотрения графика (черт. 36) непосредственно видно, что точки параболы, абсциссы которых меньше image 33749или больше 3, расположены выше оси х-ов, и значит, их ординаты, т. е. значения y=2x²-7x+3, будут положительны.

Точки же параболы, абсциссы которых заключены между image 33749и 3, находятся ниже оси х-ов, и значит, их ординаты отрицательны.

image 33809Черт. 36.

Пример:

Исследуем таким же способом трёхчлен:
y=3x²-x-10.

Решив квадратное уравнение Зх²-х-10=0, найдём корни данного трёхчлена. Они будут равны: image 33785и х₂=2. Тогда трёхчлен
можно представить в таком виде:
image 33793
или
image 33804

Рассуждая так же, как и в первом примере, найдём:
1) При image 33813будет также и x 2 будет также и image 33847. Тогда будем иметь:
image 33854и х — 2 > 0.
Отсюда:
image 33861
и трёхчлен имеет положительные значения.

Общий вывод будет такой же, как и в первом примере: трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х, меньших image 33868, и при всех значениях х, больших 2.

Он имеет отрицательные значения для всех значений х, заключённых между image 33869и 2. Этот вывод подтверждается таблицей, а также графиком трёхчлена Зх² — х — 10 (черт. 37).

image 33906Черт. 37.

x -5 -2 -1 0 1 2 3 5
Зх²-х-10 70 4 -6 -10 -8 0 14 60

Пример:

Рассмотрим теперь такой трёхчлен, у которого первый коэффициент (т. е. коэффициент при х²) является отрицательным
числом. Пусть, например, дан трёхчлен:
y=-2x²+4x+16.

Найдя корни этого трёхчлена: x₁= — 2 и x₂=4, мы можем его переписать так:
y=-2(x+2) (x-4)

Исследуя знак этого произведения в том же порядке, как и в предыдущих примерах, мы найдём:

Произведение (x+2) (х-4) — число положительное. По умножении его на — 2 получим отрицательное число, и, значит, трёхчлен при х>4 имеет отрицательные значения.

Мы видим, что в этом случае мы имеем положение, обратное тому, которое наблюдали в первых двух примерах: при значениях х, меньших — 2, и при значениях, больших 4, он имеет отрицательные значения; при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет положительные значения. Этот вывод подтверждает и таблица для отдельных числовых значений х.

x -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 8
-2x²+4x+16 -54 -14 0 10 16 18 10 0 -14 -80

Убедимся в том, что такой вывод верен для любых значений коэффициентов а, b и с в случае действительных и различных корней. Для этого исследуем квадратный трёхчлен в общем виде.

Общий случай:

Пусть дан трёхчлен:
y=αx²+bx+c,
где а, b и с — любые действительные числа, удовлетворяющие лишь тому условию, что трёхчлен имеет действительные и различные корни (и, конечно, α≠0). Обозначим эти корни через
x₁ и x₂ (x₁ 0 и x-x₂ х₂, а значит, и x>x₁ (так как x₂ >x₁).
Тогда:
х —x₂>0 и х —x₁>0

Произведение (х — x₁) (х — x₂) будет положительным, а следовательно, произведение а (х — x₁) (х — x₂) положительно при а положительном и отрицательно при а отрицательном. Значит, в этом случае числовое значение трёхчлена имеет тот же знак, что и коэффициент а.

Объединяя все три случая, мы можем теперь сделать такой общий вывод:

Если квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные различные корни, то при значениях х, меньших меньшего из корней, и при значениях х, больших большего из корней, он имеет тот же знак, что и коэффициент при x². При значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет знак, противоположный знаку коэффициента при х².

Примечание. Если условиться называть значения х x₂ значениями х вне промежутка между корнями, а значения x₁ Квадратный трёхчлен, имеющий равные корни

Пример:

Пусть требуется исследовать трёхчлен:
y=2x²-8х+8.

Найдём корни этого трёхчлена, для чего приравняем его нулю и решим уравнение:
2х² —8x+8=0.

Получим x₁= x₂=2. Значит, данный трёхчлен можно представить в таком виде:
y=2(x-2) (х-2),
или
y=2 (х — 2)².

Очевидно, что при любых действительных значениях x, кроме х=2, выражение (х — 2)² — число положительное. А значит, и по умножении его на положительное число 2 будем иметь положительное число. Следовательно, трёхчлен 2x²-8x+8 имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, т. е. при х=2.
(При х=2 трёхчлен равен нулю.)

Построив график трёхчлена 2x²-8x+8, мы замечаем (черт. 39), что при всех значениях х точки кривой расположены выше оси х, т. e. y>0, и только при x= 2 будет y=0. В этой точке кривая касается оси абсцисс.

Пример:

Исследуем трёхчлен:
image 34076

Найдём корни этого трёхчлена, для чего решим уравнение:
image 34077

image 34078

Получим: x₁=x₂=3. Следовательно, данный трёхчлен можем представить в таком виде:
image 34079
или
image 34080

Как и в предыдущем примере, заключаем, что выражение (х-3)² при всех значениях х, кроме х=3, является числом положительным.

По умножении его на image 34084получим отрицательное число.

Таким образом, в этом случае при всех значениях х, кроме х=3, трёхчлен имеет отрицательные значения.

Построив график трёхчлена image 34088, мы видим
(черт. 40), что все точки параболы, кроме точки (3; 0), находятся ниже оси х-ов. Значит, ординаты всех этих точек, т. е. значения image 34091, будут отрицательны.

Сопоставляя оба примера, мы замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадает со знаком коэффициента при x². Чтобы убедиться, что это имеет место при любых коэффициентах (в случае равных корней), рассмотрим трёхчлен в общем виде.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,
причём известно, что он имеет равные корни. Обозначив корень через x₁, представим трёхчлен в таком виде:
y = α(x- x₁) (x-x₁),
или
y = α(x- x₁)²

Отсюда заключаем: какова бы ни была разность x-x₁, если только она не равна нулю, квадрат этой разности является числом положительным. Значит, при положительном а произведение а (x-x₁ )², а следовательно, и у будут числами положительными, а при отрицательном а — отрицательными. Таким образом, мы можем сделать вывод:

Если трёхчлен имеет равные корни, то при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, значения трёхчлена имеют тот же знак, что и коэффициент при х².

Квадратный трёхчлен, имеющий мнимые корни

Пример:\

Исследуем трёхчлен:
y=2x²-3x+3.

Решая уравнение 2x²-3x+3=0, мы получим:
image 34103

Корни трёхчлена оказались мнимыми. В этом случае разности x-x₁ и x-x₂ будут мнимыми числами. Так как вопрос о знаке мнимых чисел не имеет смысла, то мы проведём исследование данного случая другим способом. Вынесем сначала за скобки первый коэффициент, получим:
image 34106

Рассматривая теперь второй член image 34109, равный image 34110, как удвоенное произведение х и image 34111дополним выражение
image 34112
до полного квадрата, прибавив, а затем вычтя image 34113

Будем иметь:
image 34114

Исследуем теперь полученное выражение. Очевидно, что при любых значениях х выражение image 34115— число положительное и
только при image 34116равно нулю. Второе слагаемое в прямых скобках image 34117— тоже положительное число. Значит, и вся сумма в прямых скобках положительна. От умножения её на положительное число 2 получим опять положительное число. Итак, в данном случае трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х.

График трёхчлена y=2x²-3x+3 (черт. 41) показывает, что действительно все точки параболы расположены выше оси х-ов, т. е. их ординаты положительны.

Пример:

Исследуем трёхчлен:
y= — 3x²+2x- 1.

Решив уравнение —3x²+2x—1=0, найдём его корни.
Имеем:
image 34119

Корни трёхчлена оказались мнимыми. Применим поэтому тот же способ исследования, что и в примере 1. Вынесем за скобки первый коэффициент и в скобках выделим квадрат двучлена:
image 34122

Выражение image 34123равно нулю при image 34124и положительно при всех других значениях х. Значит, сумма image 34126всегда положительна.

По умножении её на — 3 получим отрицательное число. Отсюда делаем вывод, что трёхчлен — 3x²+2x — 1 имеет отрицательные значения при всех значениях х. График трёхчлена (черт. 42) показывает, что все точки параболы расположены ниже оси х-ов, т. е. их ординаты отрицательны.

Сопоставляя примеры 1 и 2, замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадал со знаком коэффициента при х² при всех без исключения значениях переменного х. Покажем, что это будет иметь место для всякого трёхчлена, имеющего мнимые корни.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,

image 34137

причём известно, что он имеет мнимые корни. Мы знаем, что в этом случае должно быть
b² — 4αc 0, то корни действительны и различны.
2) Если b² — 4αc=0, то корни действительны и равны.
3) Если b² — 4ас 0 α 0 1) x₁ x₂ отрицательный положительный положительный отрицательный b² — 4ac = 0 любое, кроме
x=x₁=x₂ положительный отрицательный b² — 4αc 0; α=1>0. Корни трёхчлена: x₁ = 2; x₂ = 5. Следовательно, при х 5 трёхчлен положителен, а при 2 0;
а=-2 8 — отрицателен.

3. у = —x²+4х-15. Дискриминант: 16- 4·15=-44 0. Следовательно, при всех значениях х, кроме х=1, трёхчлен положителен.

5. Определить, при каких значениях m трёхчлен 2x²-6x+m будет иметь положительные значения при любом значении х. Так как здесь α=2>0, то трёхчлен будет иметь положительные значения при любом х в том случае, если b²— 4αc image 34321. Итак, при m, большем image 34321, данный трёхчлен будет иметь положительные значения при любом значении х.

6. Определить, при каких значениях р трёхчлен x²+(p— 2) x+4-2p+l будет иметь положительные значения при любом значении х.

Дискриминант трёхчлена (р — 2)²—4(2p+1) =p²-12p=p(p—12). Следовательно, для того чтобы данный трёхчлен имел положительные значения при любом х, должно быть:
p(p-12) 0 или
II р>0 и р—12≤0.

Первая система неравенств несовместна (при р 0 (1)
и
ax²+bx+c 0. (1)

Это значит, что нам нужно определить, при каких значениях х трёхчлен 2x²— 13x-f-15 является числом положительным. Решение проведём в таком порядке:

Находим: x₁=image 34367; x₂=5.

Следовательно, данное неравенство справедливо при значениях х, меньшихimage 34367, и при значениях х, больших 5.

Пример:

Решить неравенство:
— 4x²+4x-1 0. (2)

а) Коэффициент α=4>0.
б) Дискриминант 4²-4·4=0.

Следовательно, трёхчлен имеет равные корни. В этом случае, как мы знаем, трёхчлен (2) имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена. Найдём этот корень, решив уравнение:
4x² — 4x+1=0.

Получим image 34371. Итак, данное неравенство (1) справедливо при всех значениях х, кроме image 34371.

Пример:

Решить неравенство:
3x²- 5x+4 >0.

а) Коэффициент α=3 > 0.
б) Дискриминант 5²-4∙3∙4=-23 0. (2)

а) Коэффициент
а= —1 0.

Следовательно, неравенство (2), а значит, и (1) справедливо при всех значениях х, заключённых между корнями трёхчлена. Найдём эти корни:
х² —5x+4=0,
отсюда x₁=1, x₂=4. Итак, неравенство (1) справедливо при 1 0. (2)

а) Коэффициент а=-1 0.

I. Если b²-4αc 0 неравенство справедливо при любых значениях х;
б) при α 0 неравенство справедливо при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена в левой части;
б) при α 0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при значениях х, больших большего, и при значениях х, меньших меньшего из корней трёхчлена в левой части (или, как мы условились говорить короче: „при значениях х вне промежутка между корнями трёхчлена»);
б) при α 5, вторая: х 5 и при значениях х 0, то трёхчлен x²-8x+7 имеет действительные и различные корни. Решив уравнение х²-8x+7=0, найдём: x₁=1; x₂=7. В таком случае, как мы знаем, неравенство (1) будет иметь место при x 7.

Но решив неравенство (2), найдём х>3. Значит, обоим неравенствам удовлетворяют лишь значения х>7.

Решим вторую систему. Неравенство (3) будет справедливо при всех значениях х, заключающихся между 1 и 7, т. е. при 1 7.

Проверьте правильность решения подстановкой в данное неравенство значений: x=- 1; 0; 1; 2; 4; 6; 8; 10.

Пример:

Решить неравенство:
image 34747

Решение приводится к решению систем:
image 34751
или
image 34758

Так как 9²-56=25>0 и 5²-16=9>0, то оба трёхчлена имеют действительные и различные корни. Решив соответствующие уравнения, найдём для первого трёхчлена: x₁=2; x₂=7, второго трёхчлена: x₁=1;x₂=4. Отсюда заключаем:

1) Неравенство (1) справедливо при x 7, а неравенство (2) — при х 4. Следовательно, оба неравенства вместе будут верны лишь при х 7.

2) Неравенство (3) верно при 2 7.

Замечание:

Найдя корни обоих трёхчленов, мы могли данное неравенство представить в таком виде:
image 34772

Тогда решение этого неравенства свелось бы к решению двух систем:
image 34775
или
image 34779

Решение каждого из этих неравенств мы можем провести подобно тому, как это было сделано в первом примере. Очевидно, что мы пришли бы к тому же результату, как и выше, но ход решения был бы значительно более длинным.

Пример:

Решить неравенство:
image 34783

Решение сводится к решению систем:
image 34787
или
image 34789

Дискриминанты трёхчленов: 3²+4∙ 10=49>0 и 3²-4∙10= =-31 Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Умение решать квадратные неравенства необходимо каждому учащемуся, готовящемуся к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в вузе. Чтобы успешно решать квадратные неравенства и сводящиеся к ним, следует твердо знать свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции.

График квадратичной функции.

image 33042image 33044

где а,b,с — действительные числа, причем image 33045, называют квадратичной. Область ее определения — множество R действитель-ных чисел.

Применив метод выделения полного квадрата, запишем квадратичную функцию (1) в виде

image 33046image 33047

гдеimage 33048

Введем следующие обозначения:

image 33049image 33050

Тогда формула (1) примет вид

image 33052image 33053

Из формулы (4) следует, что графиком квадратичной функции является такая же парабола, как image 33054но сдвинутая вдоль оси Ох на |m| единиц и вдоль оси Оу на |l| единиц так, что ее вершина — точка А(m;l).

Знак числа а определяет направление ветвей параболы: при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а image 33060

Теорема:

Квадратичная функция image 33061принимает при image 33062наименьшее значение, если а > 0, и наибольшее значение, если а 0, то самая нижняя точка параболы image 33068(рис. 20.2) — ее вершина А(m;l). Ордината l вершины и есть наименьшее значение функции image 33069т. е. image 33071Значение l функция принимает при image 33073Аналогично рассматривается случай а image 33074

Исследование квадратного трехчлена

Теорема:

Если image 33077то при всех image 33078знак квадратичной функции image 33079совпадает со знаком числа а (рис. 20.3 и 20.4).

image 33080

Теорема:

Если D = 0, то при всех image 33078, кроме image 33081знак квадратичной функции image 33083совпадает со знаком числа а; при image 33081квадратичная функция обращается в нуль (рис. 20.5 и 20.6).

image 33084

Теорема:

Если D > 0, то знак квадратичной функции image 33083

а) совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка image 33085где image 33086— корни уравнения

image 33088

такие, что image 33091(рис. 20.7 и 20.8),

б) противоположен знаку числа а при всех х таких, что image 33092(рис. 20.7 и 20.8).

image 35302

Теоремы 2 и 3 можно доказать с помощью формулы (5), записанной в виде image 35369

а теорему 4 — с помощью разложения квадратного трехчлена на множители:

image 35371

Теорема:

Квадратичная функция image 35375принимает положительные значения при всех image 35380тогда и только тогда, когда

image 35384

Доказательство:

Достаточность следует из теоремы 2. В самом деле, если image 35440то по теореме 2 знак у совпадает со знаком числа image 35443при image 35456и image 35461при image 35466для всех image 35380.

Докажем необходимость, т. е. покажем, что если image 35487при всех image 35380, то image 35440и image 35456. Предположим, что условие image 35440не выполняется, тогда image 35437и поэтому квадратный трехчлен image 35500имеет действительные корни image 35503и image 35505( image 35516при image 35521), т. е.

image 35523

что противоречит условию ( image 35528при всех image 35380). Итак, image 35440и в силу теоремы 2 имеем image 35456.

Квадратные неравенства.

Пусть image 35536где image 35541— заданные числа, причем image 35551— неизвестное. Тогда неравенства вида

image 35554

называют квадратными неравенствами или неравенствами второй степени, причем первые два из этих неравенств называют строгими, остальные — нестрогими.

Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Ограничимся рассмотрением строгих неравенств и заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:

image 35561image 35564

Из теорем 2-4 следует:

1) если image 35568

image 35568

то решениями неравенства (1) являются все действительные числа (см. рис. 20.3), а неравенство (2) не имеет решений;

2) если image 35576, то решениями неравенства (1) являются все действительные значения image 35577, кроме image 35578(см. рис. 20.5), а неравенство (2) не имеет решений;

3) если image 35579то решениями неравенства (1) являются все числа image 35551такие, что image 35580или image 35581(см. рис. 20.7), где image 35503иimage 35505— корни квадратного уравнения image 35582т.е. все значения image 35551, лежащие вне отрезка image 35583решениями неравенства (2) являются числа image 35551такие, что image 35584(см. рис. 20.7), т.е. все значения image 35551из интервала image 35585

Примеры с решениями:

Пример:

Определить знаки чисел image 35586если парабола image 35587расположена так, как указано на рис. 20.9.

Решение:

Ветви параболы направлены вверх и поэтому image 35456. Из рис. 20.9 видно, что абсцисса image 35588вершины image 35589параболы отрицательна, т. е. image 35590, откуда следует, что image 35591так как image 35456.

Наконец, image 35592, поскольку image 35593— ордината точки image 35595, в которой парабола пересекает ось image 35596

Ответ. image 35597

image 35598

Пример:

Квадратичная функция image 35599при image 35600принимает наибольшее значение image 35601равное image 35603, а при image 35602она обращается в нуль. Найти значение этой функции при image 35604

Решение:

Так как image 35605— значение функции image 35606при image 35600, то в формуле (5) image 35607и поэтому image 35608По условию image 35609т. е. image 35610откуда image 35611Итак, image 35612откуда находим image 35613

Ответ. image 35614

Пример:

Квадратный трехчлен image 35615не имеет действительных корней, а его коэффициенты связаны условием image 35616Определить знак числа image 35617.

Решение:

По условию график квадратичной функции image 35618не пересекает ось image 35619. Это означает, что либо image 35620, либо image 35621при всех image 35380. Заметим, что image 35622и поэтому image 35621при всех image 35380. В частности, image 35623

Ответ. image 35624.

Пример:

Квадратичная функция image 35618принимает при image 35625положительное значение, а при image 35626— отрицательное значение. Можно ли утверждать, что квадратный трехчлен image 35627имеет действительные корни?

Решение:

Предположим, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда парабола image 35618не пересекает ось image 35619и поэтому либо image 35620при всех image 35380, либо image 35621при всех image 35380, что противоречит условиям данного примера. Следовательно, квадратный трехчлен имеет действительные корни.

Пример:

image 35628

Решение:

а) Неравенство image 35629равносильно неравенству image 35630а его Решениями являются все значения image 35577.

б) Неравенство image 35631равносильно неравенству image 35632и имеет единственное решение image 35633

в) Уравнение image 35634имеет корни image 35635а решения неравенства image 35636

все числа image 35577, лежащие вне отрезка image 35637т.е. все значения image 35551такие, что image 35638или image 35639

г) Уравнение image 35640имеет корни image 35641а решения неравенства image 35642— все числа image 35577из отрезка image 35643т. е. image 35644

Пример:

Решить неравенство image 35645

Решение:

Полагая image 35646получаем неравенство image 35647равносильное неравенству image 35648откуда находим image 35649Поэтому множество решений исходного неравенства — объединение множеств решений неравенств image 35650и image 35651которые равносильны неравенствам image 35652и image 35653соответственно.

Ответ. image 35654

Пример:

Найти все значения image 35655, при которых неравенство

image 35656image 35657

верно для всех image 35380.

Решение:

Если image 35658, то неравенство (3) справедливо image 35659Если image 35661то неравенство (3) имеет вид image 35662и не является верным для всех image 35380(например, число image 35664не является решением этого неравенства).

Пусть image 35666т. е. image 35672и image 35675Тогда задачу можно сформулировать так: найти все значения image 35682, при которых квадратичная функция

image 35686image 35692

принимает положительные значения для всех image 35380.

По теореме 5 это имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена (4) отрицателен, а коэффициент при image 35693положителен, т. е. для всех image 35682, удовлетворя-ющих системе неравенств

image 35694image 35696

Неравенство (5) равносильно каждому из неравенств image 35697image 35698а его решения — значения image 35655такие, что image 35699или image 35700

Неравенство (6) справедливо при image 35701и image 35700Следовательно, решениями системы (5), (6) являются значения image 35682такие, что image 35702илиimage 35703

Ответ.image 35704

Пример:

Найти все значения image 35706, при которых неравенство

image 35707

верно для всех значений image 35577.

Решение:

image 35708

для всех image 35577, то, умножая обе части исходного неравенства на image 35731получаем равносильное неравенство

image 35733image 35736

image 35739image 35740

равносильное неравенству (7), не является верным приimage 35741

Если image 35743то неравенство (8) является квадратным и справедливо для всех image 35380тогда и только тогда, когда image 35745и

image 35748

Отсюда следует, что image 35750, т. е. image 35751

Ответ. image 35754

Пример:

Найти все значения image 35706, при которых неравенство

image 35756image 35758

верно для всех значений image 35759

Решение:

Пусть неравенство (9) является верным для каждого image 35759Тогда оно верно при image 35762и image 35763Подставляя эти значения в (9), получаем систему неравенств

image 35764 image 35766

Первому неравенству системы (10) удовлетворяют значения image 35767и image 35768, второму — значения image 35769и image 35770откуда следует, что множество решений системы (10) — совокупность промежутков

image 35772image 35774

Таким образом, условия (11) являются необходимыми (искомыми значениями image 35706могут быть только такие значения, которые содержатся в промежутках image 35776и image 35777).

Покажем, что условия (11) являются достаточными. Пусть image 35780и image 35783; тогда image 35784и, значит, неравенство (9) — верное.

Пусть image 35777и image 35783; тогда image 35788и поэтому неравенство (9) справедливо.

Ответ. image 35791

Пример:

Решить неравенство image 35792

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств

image 35793

image 35794

которая равносильна следующей системе:

image 35795

Множество решений первого неравенства — интервал image 35797второе неравенство является верным при всех image 35798

Ответ. image 35799

Пример:

Решить неравенство image 35800

Решение:

На рис. 20.10 изображены графики четных функций image 35801и image 35802Решив уравнение image 35803найдем его положительный корень image 35804

График функции image 35801лежит выше графика функции image 35805вне отрезка image 35806Поэтому множество решений данного неравенства— совокупность промежутков image 35807и image 35808

Ответ. image 35809

Пример:

Решить неравенство image 35810

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

image 35811

image 35812

Множество решений первого неравенства, равносильного неравенству

image 35814

представляет собой объединение промежутков image 35815и image 35816. Множество решений второго неравенства, равносильного неравенству

image 35818

есть интервал image 35819

Ответ. image 35821

image 35823

Пример:

Решить неравенство image 35824

Решение:

Первый способ. Число image 35825не является решением данного неравенства, а при image 35826неравенство справедливо: его левая часть неотрицательна при всех image 35828, а правая отрицательна.

Если image 35830, то исходное неравенство равносильно совокупности неравенств

image 35831

Эти неравенства равносильны неравенствам

image 35833

соответственно. Решив систему

image 35834

получаем image 35835

Аналогично, из системы

image 35836

следует, что image 35837. Итак, множество решений данного неравенства — объединение промежутков image 35838image 35840

Ответ.image 35841

Второй способ. Построим графики функций image 35844и image 35845(рис. 20.11).

Эти графики имеют общую точку image 35846. Две другие общие точки получим, найдя отрицательные корни уравнений image 35847и image 35848Такими корнями являются image 35849и image 35850При image 35851и image 35852график функции image 35853лежит выше графика функции image 35854

Пример:

image 37742

Решение:

Воспользуемся тем, что неравенство image 37746равносильно каждому из неравенств image 37754 image 37760 image 37763Тогда данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств image 37765image 37766 image 37770где image 37777 image 37778Отсюда находим множество решений неравенства:

image 37779

Ответ. image 37780

Пример:

Найти множество значений функции image 37785, если:

image 37789

Решение:

а) Число а принадлежит множеству значений функции image 37785тогда и только тогда, когда уравнение image 37791имеет действительные корни. Функция image 37796определена при image 37798, а уравнение

image 37800

можно записать в виде image 37801или в виде

image 37802 image 37896

Уравнение (12) при image 37889имеет корень image 37894, а при image 37895является квадратным и имеет действительные корни тогда и только тогда, когда image 37897, где image 37898Отсюда получаем image 37901

Ответ.image 37903

б) Пусть image 37909, тогда image 37911и image 37912где image 37916

График функции image 37920на отрезке image 37921изображен на рис.20.12.

Из рис. 20.12 видно, что image 37922т. е. image 37925причем функция image 37926принимает все значения из отрезка image 37927Следовательно,

image 37928

Ответ. image 37930

image 37932

Пример:

Найти все значения image 37942, при которых расстояние между вершинами парабол image 37943и image 37945меньше image 37949.

Решение:

Для нахождения координат вершин парабол воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим

image 37954

Пусть image 37956и image 37957— вершины парабол, image 37959—расстояние между вершинами. Тогда

image 37962

Пусть image 37963тогда image 37968По условию image 37971, откуда image 37975или

image 37977

Так как image 37980то полученное неравенство равносильно неравенству image 37984, откуда image 37986

Ответ. image 37987

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Квадратный трехчлен и алгоритм решения с примерами

Почти вся теория квадратного трехчлена, а также решение многих задач, связанных с ним, основываются на приеме, называемом «выделение полного квадрата». Применяя этот прием к квадратному трехчлену image 2961приходим к равенству

image 2963

Нет необходимости эту формулу запоминать. Гораздо важнее в каждом конкретном случае уметь проделать соответствующие преобразования и выделить полный квадрат. Например,

image 2966

Выражение image 2968называется дискриминантом квадратного трехчлена image 2970Квадратное уравнение image 2972имеет соответственно 2, 1 или 0 решений в зависимости от того, будет его дискриминант положительным (D>0), равным нулю (D = 0), или отрицательным ( D image 2980

Правда, нумерация корней условна. Обычно стараются за­ нумеровать их в порядке возрастания, но это не обязательно.

Дадим два практических совета. Во-первых, если второй коэффициент (b) четный (причем он может быть просто четным числом, а может иметь вид b = 2k), то удобнее пользоваться для нахождения корней формулами

image 3050

Во-вторых, старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого старший коэффициент (а — коэффициент при image 3159) положительный. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами.

Задачи, связанные с квадратным трехчленом, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны.
Нередки среди них такие, где основное, что требуется от учащегося,— это внимательность к формулировке. Например:

1.Определить все значения параметра а, при которых уравнение image 3162имеет один корень.

Решение:

Здесь главное — не забыть про случай а = 0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а = 0 имеем линейное уравнение image 3164с единственным корнем image 3165. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0, а лучше image 3167

image 3168

Ответ. image 3169

К азбуке квадратного трехчлена относится и теорема Виета. Для того чтобы image 3171были корнями уравнения image 3172необходимо и достаточно выполнения равенств image 3173 image 3174Обратите внимание на то, что здесь сформулировано два утверждения — прямое и обратное. Часто, формулируя теорему Виета, ограничиваются одним прямым утверждением: «Если image 3176— корни квадратного уравнения image 3177то выполняются равенства…»

Некоторые логические и терминологические проблемы возникают в случае D = 0, но мы их не будем обсуждать. Заметим лишь, что выражения «квадратное уравнение, имеющее одно решение» и «квадратное уравнение с равными корнями» означают одно и то же.

Из теоремы Виета следует следующее разложение на множители квадратного трехчлена:

image 3178

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения.

2.Решить уравнение image 3181

Решение:

Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям.

Если же заметить, что 319-1988+1669 = 0, откуда следует, что image 3183является корнем уравнения, то по теореме Виета

image 3186

Ответ. image 3187

Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических пре­ образований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а+b + с = 0) или —1 (а —b + с = 0).

3.Пусть image 3190— корни уравнения image 3192Выразить image 3193через р и q.

Решение:

Нам нужно выразить image 3195через image 3196— и image 3198Имеем

image 3200

Ответ. image 3201

4. Разложить на множители выражение

image 3202

Решение:

Данное выражение можно рассматривать как квадратное относительно любого входящего в него переменного. Сгруппируем его члены и расположим их по степеням х. Получим

image 3203

Коэффициент при х представляет собой квадратный трехчлен относительно у (можно z) image 3205Найдем его корни:

image 3207

image 3208

Таким образом, в каждом из коэффициентов квадратного трех­ члена (1) есть множитель у — 2z. Вынося его за скобки, получим

image 3209

Квадратный трехчлен image 3211имеет корни (проверьте): image 3212

Ответ. image 3213

Решая эту задачу, мы сознательно не стали использовать некоторые соображения, которые могли бы привести к цели быстрее. Так, например, выделив множитель (у — 2z), учитывая цикличность исходного выражения (оно не меняется при замене х на у, у на z, z на х), можно было сразу получить требуемое разложение на множители. В данном случае мы следовали по­ говоркам: «От добра добра не ищут» и «Тише едешь…» Однако в других, более сложных случаях подобного рода особенности могут сыграть решающую роль. И еще на одно очень важное обстоятельство следует обратить внимание: надо учиться «видеть» квадратный трехчлен в тех случаях, когда он не задан в стандарт­ ной канонической форме; уметь выделять переменное, параметр, алгебраическое выражение, относительно которого данное выражение представляет собой квадратный трехчлен; делать замену переменного, превращающую его в квадратный трехчлен.

Существование корней квадратного уравнения. Знаки корней

Как мы знаем, для того чтобы квадратное уравнение image 3218 image 3219имело корни, необходимо и достаточно выполнения неравенства image 3220Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем до­ казать его неотрицательность. Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение image 3223 image 3228имеет два решения, достаточно указать одну точку image 3229в которой image 3231Чаще всего в качестве image 3234берут 0 (дает достаточное условие с image 3252

Решение:

Можно, конечно, попытаться найти дискрими­нант и доказать, что он положителен. Но не будем спешить.
Обозначим левую часть данного уравнения через f (х). Сразу видно, что image 3269при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдем image 3270для которого image 3272Попробуем image 3274. (Выбор такого значения выглядит естественным, поскольку в этом случае пропадают члены с image 3276) image 3277image 3282при любом а. Теперь легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если image 3287т. е. image 3289данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0 image 3293

имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение:

Прежде всего, если image 3295то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом «автоматически» положителен.) В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х — второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было image 3301необходимо и достаточно выполнения неравенств

image 3302

откуда а >5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ. Если а 5, то image 3313

Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи.

Расположение корней квадратного трехчлена

Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трех­ члена. Первый тип — задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны три случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме,— определению знаков корней квадратного трехчлена. Это делается при помощи замены t = х —A, х =t+A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трехчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трехчлена относительно А. Мож­но и не делать замену.

7. При каком значении параметра а один корень уравнения image 3320больше 1, а другой меньше 1?

Решение:

Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции image 3321представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок image 3322должен содержать внутри себя точку 1 (рис. 7). Следовательно, значение квадратного трехчлена image 3323при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялись неравенства image 3324

В общем случае для того, чтобы уравнение image 3325 image 3326имело бы один корень меньше A, а другой больше А, не­ обходимо и достаточно выполнения неравенства image 3327(Докажите

image 3328 image 3329

это самостоятельно.) Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.

8. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
image 3330больше 1?

Решение:

Для того чтобы оба корня уравнения

image 3331

были больше 1, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

image 3332

Необходимость условия 1) очевидна. Неравенство 2) означает, что знак f (х) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трехчлены, удовлетворяющие условиям 1) и 2), обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1 (рис. 8). Неравенство 3) выделяет из них те трехчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х = 1.

Система неравенств 1) —3) дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Неравенство 2) дает image 3333А из равенства 3) следует, что image 3334Таким образом, нам нет необходимости решать неравенство 1), поскольку уже неравенства 2) и 3) несовместимы.

Ответ. Ни при каких.

В задачах второго типа исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка [А; В].
Здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А, один меньше А, а другой на отрезке [А; В] и т. д.). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D = 0, то добавится еще 3 случая. Мы вновь не будем заниматься по­ строением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.

9. При каких значениях параметра а все решения уравне­ния image 3335удовлетворяют условию 0 image 3338

(Проверьте, что если f (х) имеет корни на данном отрезке, то все неравенства выполняются. Проверьте обратное утверждение, что если выполняются все неравенства, то корни f (х) расположены на отрезке [0; 3]. Покажите, что ни одно из не­ равенств нельзя отбросить, т. е. если выполняются все неравенства, кроме одного, то квадратный трехчлен не удовлетворяет условию задачи.)

Оба неравенства 2) и 3) выполняются при image 3339или а image 3833

При 1 image 3849

параболы направлены вниз, значения f (х) при х= —1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х = 4 (рис. 9,б). Следовательно, в этом случае оба корня расположены между — 1 и 4.

2) image 3850(случай image 3851рассматривается отдельно). Имеем image 3854А поскольку а image 3879

относительно отрезка [1; 3].

Решение:

В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при image 3882) имеет корни: image 3884(Проверьте. Здесь не обязательно image 3886) Теперь закончить решение не составляет труда.

Вывод очевиден — при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов

12. Найти все значения параметра а, при которых уравне­ния image 3887имеют хотя бы один общий корень.

Решение:

Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения image 3888имеют общий корень image 3889то при любых image 3890и image 3891уравнение image 3892имеет тот же корень image 3894

Возьмем сначала image 3890и image 3891так, чтобы в комбинации исчез свободный член: image 3895Получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что image 3896уравнение

image 3897

Затем выберем image 3890и image 3891так, чтобы исчез член с image 3898image 3899

image 3900

Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение

image 3901

Далее получаем image 3902Левая часть разлагается на множители:

image 3903

Ответ. image 3904

Два замечания. 1. Для каждого из найденных значений а необ­ходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения, (Достаточно проверить существование корней у одного из них.) 2. Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.

13. Расположить корни уравнений

image 3943

в порядке возрастания.

Решение:

Обозначим image 3946image 3947— корни уравнения image 3951— корни уравнения g(x) = 0. По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие неотрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства.

image 3953

Найдем значения х, при которых image 3955Уравнения имеют общий корень, если image 3963откуда а=—3.

Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на три интервала (рис. 10, а). Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.

С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответст­вует f(х), а какая g (х), возможны два случая (рис. 10, б, в). Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой image 3972. Для f (х) имеем image 3974. На рассматриваемом интервале изменения а имеем image 3976(Докажите.) Вершина второй параболы также левее прямой image 3978(Проверьте правильность неравенства image 3980) Следовательно, имеет место случай, изображенный на рисунке 10, б. (На рис. 4, в вершины парабол расположены по разные стороны от прямой image 3982) Осталось выяснить, какая из двух парабол на этом рисунке соответствует f (х), а какая g (х).

Если image 3984 image 3986Значит, image 3987при image 3988идет выше image 3991 image 3992Если image 3993

2) image 3995В этом случае image 3996Как и в предыдущем пункте, при image 3997т. е. графики f (х) и g(х) расположены так, как показано на рисунке 10, г, и image 3999Если image 4000

3) image 4001Имеем image 4002Обе вершины — слева от прямой image 4004(рис. 10, д). Следовательно, image 4005Если image 4006

Заметим, что получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а = 0; нули дискриминантов— точки image 4009и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а = — 3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при image 4011). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: image 4013а для среднего, например, а =— 1.

Уравнения, неравенства и системы с параметром

В большинстве задач, рассмотренных в предыдущих пунктах, требовалось узнать «при каких значениях параметра…?». Подобного рода вопрос для уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств с параметром не всегда фигурирует в условии задачи. Однако наличие параметра заранее предполагает специ­альную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра.

14. Решить уравнение image 4019

Решение:

Обозначим image 4022тогда image 4023 image 4025Для у получаем уравнение

image 4029

которое надо решить при условии image 4030Неотрицательность дискриминанта дает нам неравенство image 4034. Если image 4037корни уравнения, то по теореме Виета image 4038Следовательно, оба корня не могут быть отрицательными. При image 4040получаем одно решение: image 4045при image 4046два решения: image 4047при image 4048— одно решение: image 4049Теперь возвращаемся к неизвестному х.

Ответ. Если image 4051если image 4053 image 4055если image 4056если image 4058, то решений нет.

Если решать уравнение 14 более обычным путем, возводя в квадрат обе его части, то приходим к уравнению image 4060 image 4062при условии image 4063Технически этот путь несколько сложнее. (Доведите его до конца самостоятельно.)

15. Решить уравнение image 4068

Решение:

Возводим обе части уравнения в квадрат (условие image 4070):

image 4072

Еще раз возводим в квадрат (условие image 4073). Получаем окончательно уравнение

image 4075

среди решений которого надо найти те, для которых image 4076 image 4078Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного х, но зато является квадратным относительно параметра а. (Умение «видеть» квадратный трехчлен!) Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

image 4080

Найдем дискриминант, надеясь, что он окажется полным квадратом:

image 4083

Итак, наши надежды оправдались. Теперь правая часть уравнения раскладывается на множители image 4086Наше уравнение распадается на два: image 4088 image 4090каждое из которых надо решить при условии, что image 4092image 4093

Начнем с уравнения image 4095Поскольку image 4100то из того, что image 4102следует, что image 4103Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых х>0; тогда неравенство image 4104будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна —1; следовательно, уравнение image 4106может иметь лишь один неотрицательный корень при условии image 4107Значит, при image 4109будет image 4111

Перейдем ко второму уравнению image 4112Из этого уравнения image 4114Левая часть неположительна, правая неотрицательна. Равенство возможно лишь, если а = 0, х = 0.

Ответ. Если image 4117если а = 0, то х = 0; при остальных а решений нет.

16. Для каждого неотрицательного значения параметра а
решить неравенство
image 4119

Решение:

Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену у = ах, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ image 4122. Будем теперь считать, что а>0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену у = ах, получим

image 4123

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

image 4124

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

image 4125

image 4127

Второй множитель положителен при всех у, если а>0. Приходим к неравенству image 4129откуда, если 0 image 4152

Область изменения параметра а оказалась разделенной на 4 части (не считая граничных точек).

1) Если а image 4159, второе неравенство, а следовательно, и данная система не имеют решения. То же имеет место и при image 4160

2) Если image 4162Для вершины и
параболы выполняется неравенство image 4164(рис. 11, а).
Следовательно, множество решений второго неравенства не содержит

image 4166 image 4168

точек отрезка [1; 2] Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0 image 4192

Вычисляя их дискриминанты, получим, что первое уравнение имеет корни, если image 4199второе — если image 4200. Найдем image 4201— абсциссу точки пересечения графиков image 4202image 4203Имеем следующие три случая.

1) a Уравнения, неравенства и системы с параметром. Графические интерпретации

Начнем с того, что еще раз решим систему неравенств 18.
Эту систему можно переписать в виде двойного неравенства

image 4242

Рассмотрим координатную плоскость (х; а). Множество точек, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств, ограничено графиками двух квадратных трехчленов image 4250и состоит из точек, расположенных выше первого графика и ниже второго. Графики этих двух квадратных трехчленов пересекаются в точке (3; 0) На рисунке 13 изображено это множество точек. Сразу «видно», что при image 4255система не имеет решений.

Чтобы найти решение системы неравенств при некотором image 4257рассмотрим горизонтальную прямую image 4262Эта прямая пересекает найденное нами множество по отрезку. Абсциссы концов этого отрезка и будут задавать интервал изменения х, при этом image 4264Понятно, что для нахождения этих абсцисс надо решить относительно х уравнения image 4283и image 4286и взять большие корни этих уравнений. Таким образом, мы получим найденный выше ответ, причем, как нам кажется, с меньшими затратами.

image 4291

Рассмотрим еще несколько примеров.

19. При каких значениях а уравнение х |х —2а| —За + 2=0 имеет один корень?

Решение:

Рассмотрим функцию у = х|х — 2а| — За + 2. Ее график состоит из частей двух парабол: если image 4300то image 4303если х 2а и убывает на отрезке [а; 2а]. При а а и убывает на отрезке [2а; а].

Нетрудно сделать вывод, что, для того чтобы уравнение image 4319имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы у (а) и у (2а) были одного знака (у (а) и у (2а) одновременно или выше, или ниже оси х), т. е. у (а) у (2d) > 0.
Получаем неравенство для а:

image 4321

Найдем, где обращается в ноль первый множитель: а|а| — За + 2 =0. Если image 4323Если а 2 первый множитель положителен, второй

image 4332 image 4335

отрицателен, т. е. (а|а| — За + 2)( — За + 2) image 4373

Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (рис. 16). При конкретном значении параметра а =а, решением нашего неравенства будут абсциссы тех точек горизонтальной прямой а = а, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А (2; 2), В ( — 2; —2) наших парабол и вершину С ( — 0,5; —4,25) параболы image 4392

Далее получаем: если а>2, решений нет; горизонтальная прямая не пересекается с заштрихованной областью.

Если image 4394то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абсциссами image 4396(больший корень уравнения image 4401(больший корень уравнения image 4402или image 4404

Если image 4407то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет

image 4411

Если image 4412

Подведем итог этому пункту. Мы рассмотрели здесь задачи, при решении которых использовались наглядно-графические соображения. Подчеркнем два характерных приема.

Первый прием (использовался при решении задачи 19). На плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра a: y = f(x; а). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающих требуемым свойством. При этом очень часто поступают следующим образом: изучают, как перемещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство. (Правда, в задаче 19 путь решения был несколько иной. Нам удалось сразу получить удобное необходимое и достаточное условие, выделяющее искомое множество кривых.)

Второй прием состоит в том, что рассматривается плоскость (х; а), на которой изображается множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству (см. решения задач 20 и 21). После этого, проводя прямые, параллельные оси х, находят решение этого уравнения или не­ равенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, даю­щая решение, естественным образом определяются построенным множеством.

Задачи на максимум-минимум. Доказательство неравенств

Простейший прием нахождения наибольших и наименьших значений, основанный на свойствах квадратичной функции, состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразова­ний или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

22. Найти наибольшее значение функции image 4420

Решение:

Обозначим image 4421тогда image 4423Отсюда image 4426. Переходя к переменной t, получаем, что надо найти
наибольшее значение функции image 4428при условии image 4432Выделим полный квадрат: image 4435Наибольшее значение будет у=1 при t=1. Возвращаясь к х (в данной задаче это не обязательно), найдем, что наибольшее значение у=1 будет при х = 0.

Другой прием иллюстрирует следующая задача.

23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции image 4441

Решение:

Рассмотрим данное равенство как уравнение с неизвестным х и параметром у. (Можно для создания большего психологического комфорта заменить у на а.) После преобразований получим

image 4444

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

image 4446

image 4448

Слева в неравенстве стоит наименьшее значение у, справа — наибольшее.

Интересно сравнить данное решение задачи с решением, использующим производные.

Идея, на которой основано решение задачи 23, чрезвычайно проста. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) мы, рассматривая данное равенство как уравнение с неизвестным х, решаем задачу, при каких у это уравнение имеет решение.

Рассмотрим еще два примера, в которых работает эта же идея с небольшими вариациями.

24. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
2х— Зу, если
image 4453

Решение:

Обозначим 2х — 3y = s, тогда image 4456Заменим у через х и s в заданном соотношении. После упрощений получим

image 4458

Для того чтобы это уравнение (относительно х) имело решение, необходимо и достаточно выполнения неравенства

image 4460

image 4463

Как и в предыдущем случае, слева в двойном неравенстве стоит наименьшее значение s = 2x —Зу, справа — наибольшее.

25. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения image 4465при условии, что image 4467

Решение:

Задача сводится к определению наибольшего и наименьшего значений а, при которых система

image 4470

Левые части каждого из уравнений представляют собой однородные многочлены второй степени относительно х и у. Умножим первое уравнение на 4, второе на — а и сложим получившиеся уравнения. Получим

image 4475

Разделив это уравнение на image 4478, будем иметь квадратное относительно image 4481уравнение

image 4484

Нам необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен:

image 4488

откуда image 4491Осталось проверить, для любых ли а из этого отрезка система имеет решение. Подставляя во второе уравнение x = yt, получим уравнение image 4522которое имеет решение при любом t. Следовательно, если а таково, что квадратное уравнение, определяющее t, имеет неотрицательный дискриминант, то исходная система имеет решение.

Ответ. Наименьшее значение image 4526при условии, что image 4530равно image 4531а наибольшее равно image 4535

Рассмотрим еще две задачи, решение которых основывается на графических соображениях.

26. Пусть М — точка на прямой у = 2х+1, а N — точка на параболе image 4542Чему равно наименьшее значение длины отрезка MN?

Решение:

Найдем уравнение прямой, параллельной данной прямой у = 2х+1 и касающейся параболы image 4556Для этого, учитывая, что прямая у = 2х+1 не параллельна оси параболы, надо среди прямых вида у = 2х + b найти ту, которая имеет единственную общую точку с параболой. Это означает, что уравнение

image 4560

имеет дискриминант, равный нулю: image 4563Прямая у = 2х+1 и парабола image 4565расположены в разных полуплоскостях по отношению к прямой image 4569(За исключением одной точки image 4577на параболе, которая принадлежит также и прямой image 4581рис. 17.)

Теперь очевидно, что наименьшее значение длины отрезка МN равно расстоянию между параллельными прямыми у = 2х+1 и image 4585Это расстояние равно image 4589Но tga = 2, следовательно, cos image 4591

Ответ. image 4595

Замечание:

Возможно, более простым будет следующее решение. Найдем наименьшее значение разности image 4598где image 4604 image 4606(рис. 17). Поскольку image 4609

image 4615

искомое наименьшее значение равно image 4618и достигается при image 4620Для нахождения расстояния между данными прямой и параболой надо image 4623умножить на image 4626.

27. Найти все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции image 4631меньше —image 4633

Решение:

График данной функции состоит из частей двух парабол, «склеенных» в точке с абсциссой image 4641при image 4645Наименьшее значение эта функция принимает или при х= — 2 (соответствует вершине первой параболы), или при х= —1 (соответствует вершине второй параболы), или при х = а (абсцисса точки склейки).

Мы перечислили все возможные значения аргумента, которые «подозреваются на минимум». (Не беда, если среди них окажутся лишние. Единственное следствие — некоторое увеличение объема вычислительной работы.) Следовательно» условию задачи удовлетворяют все те значения (и только те) параметра а, для которых выполняется хотя бы одно из трех неравенств

image 4651

Все три неравенства объединены квадратной скобкой, что означает, что нам надо, решив каждое из них, полученные ответы объединить (а не находить множество значений параметра а, удовлетворяющее всем трем одновременно, как это делается в системах уравнений или неравенств).

Решая неравенства, получим для каждого из них соответ­ственно

image 4655

Ответ. image 4658

Мы не будем здесь подробно рассматривать задачи на дока­зательство неравенств, решения которых основываются на использовании тех или иных свойств квадратного трехчлена. (Выделение полного квадрата, оценка дискриминанта и т. д.) Ограничимся одним известным и полезным неравенством, при доказательстве которого свойства квадратного трехчлена используются весьма нестандартно.

28. Доказать, что для любых image 4660справедливо неравенство

image 4664

Решение:

Рассмотрим следующую квадратичную функцию от х:

image 4666

При всех х функция image 4668Следовательно, image 4671где D — дискриминант:

image 4675

image 4679

откуда получаем требуемое неравенство. Легко видеть, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского имеет место, если существует х, обращающий в ноль все слагаемые в выражении для image 4683иными словами, если наборы image 4686пропорциональны.

Доказанное неравенство имеет очевидную геометрическую интерпретацию. Для n = 2; 3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в прост­ранстве не превосходит произведения их длин. Так же можно
интерпретировать неравенство Коши-Буняковского и для произвольных n.

Из полученного неравенства можно получить следствия. На­ пример, возьмем image 4687Будем иметь неравенство

image 4688

Небольшой обзор различных типов и видов задач, относящихся к теме «Квадратный трехчлен», показывает, сколь разно­ образны по тематике, методам решения, уровню сложности за­ дачи, составляющие эту тему. Многие идеи, рассмотренные в нашем обзоре, носят достаточно общий характер и с успехом могут быть использованы при решении задач, относящихся к самым различным разделам алгебры и анализа.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

admin
Производства
Adblock
detector