при каких условиях можно вписать окружность в четырехугольник

Описанные четырехугольники

ifc1

ifc2

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

ifc3

Следовательно, справедливы равенства

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

ifc4

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

ifc5

ifc6

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

ifc1

ifc1w600

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

Фигура Рисунок Утверждение
Ромб ifc7 В любой ромб можно вписать окружность
Квадрат ifc8 В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник ifc9 В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм ifc10 В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид ifc11 В любой дельтоид можно вписать окружность
Трапеция ifc12 В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Квадрат ifc8

В любой квадрат можно вписать окружность

Прямоугольник ifc9

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

Параллелограмм ifc10

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

Дельтоид ifc11 Трапеция ifc12

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Источник

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]

с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]

Примеры вписанной окружности

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний
, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Источник

Можно ли вписать четырёхугольник в окружность? Когда можно вписать?

Содержание:

Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами.

Вписанный

Вписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы.

У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов?

Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике.

Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых.

609da063e1884a1aa99537310e3f71d53e703b50

Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным.

7538c82f4686d84b6d88d9016d6352b774c9a792

Задача

Известны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся.

Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке.

180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший.

В какой четырехугольник можно вписать окружность

Описанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется.

4b1125657a7fa8bf5fe5e118713034e8923f58eb

Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему.

de615a0d852cfecc177acd873411933931407321

В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом.

Задача

Стороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см.

88f38064fbfdc7b1bd8457ef5c78a6348ebaa1f7

Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны:

Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32.

Источник

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

0 f6174 35ae2d0c origВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

0 f6175 78ee4e8b origO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

0 f6176 88815657 origAM=AN,

0 f6177 46955cc0 orig

quicklatex.com b947ba4fe4d89a561f7991eb92c317e2 l3

quicklatex.com a5888a88558f9c7f1b8987553bc05cc4 l3

quicklatex.com 1862f3f5aaed009cd30a1dfffe5a4c63 l3

quicklatex.com ccffe0a125dcbe9edc079fae8517f693 l3

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

quicklatex.com 0f606e9bdfbf3285b1938ee36469b913 l3

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

quicklatex.com 89c1ec80f4f1fe1d1983ef3ff4540da1 l3

quicklatex.com 2f7d6effd41e0f1528689ce4dcf5cba1 l3

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Источник

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

ofc1

Теорема 1 доказана.

ofc2

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

g7
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
g8

Фигура Рисунок Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма ofc5 Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба ofc6 Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции ofc7 Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида ofc8 Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник ofc9

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

g7
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
g8

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около параллелограмма
ofc5 Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
ofc6 Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
ofc7 Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
ofc8 Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
ofc9
Окружность, описанная около ромба
ofc6

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции
ofc7

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида
ofc8

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник
ofc9

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

g7

g7w300

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

g8

Теорема Птолемея

ofc3

Докажем, что справедливо равенство:

ofc1

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

ofc4

ofc2

откуда вытекает равенство:

ofc3 (1)

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Какой - самый большой справочник ответов на вопрос какой
Adblock
detector