при каких условиях можно построить треугольник

Содержание
  1. Построение треугольника по трем элементам
  2. Задачи на построение
  3. Изображение треугольника, если задана одна сторона и два прилегающих к ней угла
  4. Изображение треугольника, если заданы три стороны
  5. Изображение треугольника, если заданы две стороны и угол между ними
  6. Построение треугольника по трем его сторонам
  7. Определить возможность существования треугольника по сторонам
  8. Задача
  9. Решение
  10. Построение треугольника по трем элементам в геометрии
  11. Как построить треугольник по трем элементам в геометрии
  12. Какие элементы могут быть для этого использованы
  13. Построение треугольника по трем сторонам
  14. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  15. По известной стороне и двум прилежащим к ней углам
  16. Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля
  17. Решение задач на построение треугольника по трем элементам
  18. Задача «Треугольник»

Построение треугольника по трем элементам

Задачи на построение

Широкое распространение в геометрии получили задачи на построение. Суть этих задач состоит в следующем: при заданных начальных условиях нужно построить тот или иной геометрический объект при помощи линейки и циркуля. Разберем общие принципы решения данных задач:

Анализирование задачи. На этом этапе необходимо установить взаимосвязь между заданными условиями и объектом, который нужно изобразить. Результатом выполнения этого этапа является план решения задачи.

Построение. Согласно разработанного плана выполняется построение объекта.

Доказательство. На этом этапе необходимо доказать, что изображенная фигура полностью соответствует заданным условиям.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Изучение. На этом этапе выполняется анализ начальных условий и определение, при каких условиях задача решается одним способом, при каких двумя, а при каких – вовсе не решаема.

Разберем задачи на построение треугольника по трем различным начальным условиям.

Изображение треугольника, если задана одна сторона и два прилегающих к ней угла

2. Строим треугольник

007

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

Изображение треугольника, если заданы три стороны

2. Строим треугольник:

008

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

4. Изучение. Построенные окружности имеют две точки пересечения, поэтому мы можем построить еще один треугольник, но так как он точно такой же, как и первый, можно считать, что решение этой задачи единственное. Учитывая то, что сумма двух сторон треугольника всегда больше, чем третья его сторона, можно сделать вывод, если это условие не будет выполнено для заданных сторон, то задача не будет иметь решение.

Изображение треугольника, если заданы две стороны и угол между ними

2. Строим треугольник:

009

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

Источник

Построение треугольника по трем его сторонам

Задача:

Построить треугольник по трем его сторонам.

Дано: отрезки МК, ОЕ, FG.

Построить 53435АВС так, что АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ.

Решение:

53430

С помощью линейки проводим прямую 53436и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой 53436ставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой 53436обозначаем В.

53431

Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок ОЕ и строим окружность с центром в точке А радиуса ОЕ (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом).

53432

Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок FG и строим окружность с центром в точке B радиуса FG (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное зеленым цветом).

53433

53434

Данная задача не всегда имеет решение. Так как для каждого треугольника должно выполняться неравенство треугольника, которое говорит о том, что во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. Если же какой-нибудь из данных отрезков будет больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Определить возможность существования треугольника по сторонам

Задача

Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.

Требуется сравнить длину каждого отрезка-стороны с суммой двух других. Если хотя бы в одном случае отрезок окажется больше суммы двух других, то треугольника с такими сторонами не существует.

Решение

Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.

Программа 1 (предпочтительный способ решения):

В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.

Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).

Источник

Построение треугольника по трем элементам в геометрии

Как построить треугольник по трем элементам в геометрии

Треугольник — геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не принадлежащих одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих данные точки.

В определении треугольника точки представляют собой вершины, а отрезки — являются его сторонами.

При определении расстояния от точки до прямой необходимо учитывать нескольких ключевых принципов:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

d41d8c 1625233723

Определить расстояние, на которое удалены друг от друга параллельные прямые, можно, исходя из того, что каждая из точек этих прямых равноудалена от другой параллельной прямой. Таким образом, расстояние между двумя параллельными прямыми соответствует длине перпендикуляра, который опущен из какой-либо точки, расположенной на одной прямой, на другую прямую.

578ce3 pryamye i perpendikulyary 1625233736

При построении треугольника по трем элементам необходимо использовать следующие навыки:

Какие элементы могут быть для этого использованы

Смысл задачи на построение какой-либо геометрической фигуры заключается в том, что требуется с помощью линейки и циркуля построить тот или иной объект, согласно заданным исходным условиям. Общие принципы решения подобных заданий:

Построение треугольника по трем сторонам

Изобразить данную геометрическую фигуру с тремя углами можно по трем ее сторонам. Предположим, что существуют отрезки a, b, c, которые соответствуют сторонам искомого треугольника. По условиям задания требуется построить треугольник со сторонами, соответствующими рассматриваемым отрезкам.

В первую очередь следует доказать неравенство треугольника, то есть определить, что длина любого из отрезков меньше, чем сумма длин двух других отрезков. В случае удовлетворения этого условия допустимо, что рассматриваемые отрезки являются сторонами треугольника.

85a37f treugolnika po trem storonam 1625233756

Исходя из признака равенства треугольников по трем сторонам, изображенный треугольник совпадает со всеми треугольниками, обладающими данными сторонами.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Предположим, что существуют два отрезка a и b, которые соответствуют сторонам треугольника. Также имеется угол 1, который равен углу треугольника, расположенного между его сторонами. Необходимо изобразить треугольник с элементами, аналогичными тем, что даны в условии.

295946 treugolnika po dvum storonam i uglu mezhdu nimi 1625233778

Порядок действий при построении треугольника по двум сторонам и углу между ними следующий:

Исходя из признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, геометрическая фигура, построенная в соответствии с алгоритмом, равна всем треугольникам, которые обладают такими же элементами.

По известной стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, начинается с изучения условий задания. Согласно задаче, имеется отрезок а и пара углов 1 и 2, которые равны углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Требуется изобразить треугольник с элементами, аналогичными заданному отрезку и углам.

91db0c izvestnoj storone i dvum prilezhashhim k nej uglam 1625233805

Действия необходимо выполнять в следующем порядке:

По признаку равенства треугольников по стороне и паре углов, которые прилегают к ней, изображенный треугольник равен всем треугольникам, имеющим данные элементы.

Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля

Изобразить треугольник, зная три его элемента, можно с помощью циркуля. К примеру, имеется три стороны в виде отрезков МК, ОЕ, FG, по которым необходимо построить треугольник АВС. При этом должно соблюдаться условие:

АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ

a354cc postroit treugolnik po trem yelementam s pomoshhyu cirkulya 1625233911

Используя линейку, следует провести прямую а. На данной прямой с помощью циркуля нужно отложить отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В процессе на прямой а можно отметить некую точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Строить окружность полностью нет необходимости, достаточно изобразить дугу, как показано на рисунке. Точку, в которой окружность пересекает прямую а можно обозначить, как В.

7f8588 peresekaet pryamuyu 1625233963

С помощью циркуля нужно измерить отрезок ОЕ и построить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус соответствует отрезку ОЕ. Дуга выделена на изображении синим цветом.

47212d postroit treugolnik po trem yelementam s pomoshhyu cirkulya1 1625233983

На следующем этапе, используя циркуль, можно измерить отрезок FG, чтобы построить окружность. Центр данной окружности совпадает с точкой В, а ее радиус соответствует отрезку FG. На рисунке дуга выделена зеленым цветом.

ea667e postroit treugolnik po trem yelementam s pomoshhyu cirkulya2 1625233999

Точка, в которой пересекаются окружности с центрами А и В, радиусами ОЕ и FG, следует обозначить, как С. С помощью линейки удобно соединить точки А, В и С. В результате получилось построить геометрическую фигуру в виде треугольника АВС, в котором:

АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ

Так как условия задания соблюдены, изображенный треугольник является искомым.

18ec8c postroit treugolnik po trem yelementam s pomoshhyu cirkulya3 1625234012

Важно отметить, что подобное задание не во всех случаях имеет решение. Причина заключается в необходимости выполнения неравенства треугольника для каждого треугольника, то есть в каком-либо треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. В том случае, когда один отрезок из заданных условием больше или равен сумме двух других, построить треугольник со сторонами, соответствующими данным отрезкам, не представляется возможным.

Изобразить треугольник с помощью циркуля можно, когда известны две стороны и угол между ними. К примеру, существуют отрезки МК и ОЕ, а также угол hk. Необходимо построить треугольник АВС при условии, что:

АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk

d16d84 treugolnik s pomoshhyu cirkulya 1625234043

Используя линейку, нужно провести прямую а и отложить на ней циркулем отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В данном случае необходимо в любой части прямой а поставить точку А. Далее с помощью циркуля можно измерить отрезок МК и построить окружность с центром в точке А и радиусом, равным МК. Точку, в которой окружность пересекает прямую, можно обозначить, как В. На рисунке дуга данной окружности выделена красным цветом.

392e0d treugolnik s pomoshhyu cirkulya 1625234060

На втором этапе требуется изобразить угол BAF, который соответствует углу hk. В процессе, используя циркуль, нужно построить окружность с радиусом МК и центром, который совпадает с вершиной угла hk. Допустимо изобразить лишь дугу этой окружности, которая на рисунке отмечена красным цветом. Точки, в которых окружность пересекает стороны угла hk, следует обозначить, как N и P.

88f127 treugolnik s pomoshhyu cirkulya2 1625234074

Циркулем можно измерить длину отрезка NP и построить окружность с радиусом NP и центром в точке В. На изображении полученная дуга выделена синим цветом. Точкой F следует обозначить точку, в которой построенная окружность пересекает окружность с радиусом МК и центром в точке А.

5de999 treugolnik s pomoshhyu cirkulya3 1625234086

Далее нужно построить луч AF, используя обычную линейку.

8fdd4b treugolnik s pomoshhyu cirkulya4 1625234100

Затем с помощью циркуля удобно измерить отрезок ОЕ и построить с соответствующим радиусом окружность, центр которой совпадает с точкой А. На рисунке дуга этой окружности изображена зеленым цветом. Точка С является точкой, в которой пересекается окружность с лучом AF.

6360a7 treugolnik s pomoshhyu cirkulya5 1625234123

В конце следует соединить точки В и С с помощью линейки. В результате удалось построить треугольник АВС, в котором:

АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk

Таким образом, условия задания выполнены, и треугольник является искомым.

23e08f treugolnik s pomoshhyu cirkulya6 1625234138

Следует заметить, что при любых МК и ОЕ и неразвернутом угле hk построение искомого треугольника возможно. Прямую а и точку А допустимо выбирать произвольно. Таким образом, имеется бесконечное множество треугольников, которые соответствуют условию задания. Все эти треугольники будут взаимно равны, исходя из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В связи с этим, можно заключить, что данная задача имеет единственное решение.

При построении треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, можно воспользоваться линейкой и циркулем.

К примеру, по условию задачи имеется отрезок МК, а также пара углов 1 и 2. Требуется изобразить такой треугольник АВС, в котором:

АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2

940f7d treugolnika po storone i dvum uglam 1625234159

Решение задачи следует начинать с построения прямой а при помощи обычной линейки. Используя циркуль, можно отметить на этой прямой отрезок АВ, который совпадает по длине с отрезком МК. На прямой а нужно поставить точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Окружность не обязательно строить полностью, достаточно дуги, представленной на рисунке красным цветом. Точка В будет обозначать точку пересечения окружности и прямой а.

e5a824 treugolnika po storone i dvum uglam1 1625234182

Второй шаг заключается в построении угла BAF, который идентичен углу 1. При этом, используя циркуль, следует изобразить окружность с радиусом МК и центром, совпадающим с вершиной угла 1. На изображении дуга показана красным цветом. Точки, в которых пересекаются окружность и стороны угла 1, можно обозначить за N и P.

29d71f treugolnika po storone i dvum uglam2 1625234199

Циркулем удобно измерить длину отрезка NP. Далее остается построить окружность с радиусом, соответствующим данному отрезку, и центром в точке В. На изображении такая окружность выделена синим цветом. Точкой F можно обозначить точку, в которой пересекается окружность радиуса NP с окружностью радиуса МК с центром в точке А.

779593 treugolnika po storone i dvum uglam3 1625234216

Затем необходимо построить луч АF, используя линейку.

bbfead treugolnika po storone i dvum uglam4 1625234230

На следующем шаге можно изобразить угол АВD, который соответствует углу 2. В процессе следует, применяя циркуль, начертить окружность с радиусом МК и центром, который соответствует вершине угла 2. На рисунке дуга данной окружности обозначена красным цветом. Точки О и Е соответствуют местам пересечений построенной окружности со сторонами угла 2.

339514 treugolnika po storone i dvum uglam5 1625234245

Затем нужно циркулем построить окружность с радиусом МК и центром в точке В, которая отмечена красным цветом на изображении. Далее необходимо определить, какова длина отрезка ОЕ, и построить окружность с соответствующим радиусом и центром в точке А. На рисунке дуга этой окружности выделена синим цветом. Точка D является точкой, в которой пересекаются построенные окружности.

f1fba0 treugolnika po storone i dvum uglam6 1625234262

С помощью линейки нужно отметить луч BD.

459df8 treugolnika po storone i dvum uglam7 1625234274

Точку, в которой пересекаются лучи AF и BD, можно обозначить С. В результате построен треугольник АВС, который соответствует следующим условиям:

АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2

Можно сделать вывод, что изображенный треугольник является искомым.

d3097a treugolnika po storone i dvum uglam8 1625234293

Рассмотренный пример не во всех случаях будет иметь решение. К примеру, согласно теореме о сумме углов треугольника: сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов. Следовательно, два угла по условию в сумме должны быть меньше, чем 180 градусов. В противном случае, нельзя построить треугольник, углы которого равнялись бы данным углам.

Решение задач на построение треугольника по трем элементам

Существует некая сторона треугольника ВС, к которой прилегают углы \alpha и \beta. Необходимо построить треугольник по трем известным элементам.

Пусть углы треугольника АВС соответствуют следующему условию:

Можно составить план действий, согласно стандартному алгоритму:

07bce7 na postroenie treugolnika po trem yelementam 1625234328

В процессе доказательства следует рассмотреть изображение треугольника. Можно прийти к выводу, что условия задачи выполнены. Заданные углы могут быть построены и в противоположную сторону, соответственно можно изобразить второй треугольник. Однако, так как он аналогичен первому, можно заключить, что задача имеет единственное решение. В том случае, когда углы \alpha и \beta равны или больше, чем 180 градусов, задача не имеет решения.

Даны три стороны треугольника АВ, АС и ВС. Необходимо построить треугольник.

В процессе анализа условий задания можно составить план решения:

bcd6e9 na postroenie treugolnika po trem yelementam1 1625234346

Полученная геометрическая фигура соответствует условиям задачи. Изображенные окружности обладают двумя точками пересечения, что позволяет построить еще один треугольник. Он будет аналогичен первому, поэтому у задачи есть одно единственное решение. С учетом того, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей его стороны, можно заключить следующее: при невыполнении данного условия для заданных сторон задача не будет иметь решение.

У треугольника имеется две стороны АВ и АС, а также угол \alpha между ними. Требуется изобразить треугольник.

Порядок действий следующий:

В результате получится треугольник:

494803 na postroenie treugolnika po trem yelementam2 1625234361

Согласно изображенной геометрической фигуре, можно сделать вывод о выполнении условий задания. Прямая а является бесконечной. По этой причине можно начертить множество подобных треугольников. Исходя из того, что все они будут одинаковы, сделаем вывод о единственном решении задачи. В том случае, когда угол \alpha будет равен или больше 180 градусов, у задания не будет ответа, так как сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов.

Источник

Задача «Треугольник»

Заданы длины трех отрезков a, b, c. Необходимо определить, можно ли из них составить треугольник. В случае утвердительного ответа определить его тип: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

Вход. Три целых числа a, b, c – длины трех отрезков.

Выход. Строка, содержащая информацию о треугольнике: “ACUTE”, если он остроугольный, “RIGHT” если прямоугольный и “OBTUSE” если тупоугольный. Если из трех отрезков составить треугольник нельзя, то вывести “NONE”.

Из трех отрезков a, b, c можно составить треугольник, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника строго больше длины третьей.

Из теоремы Пифагора следует, что треугольник со сторонами a, b, c является прямоугольным, если выполняется одно из следующих равенств:

a 2 = b 2 + c 2 или b 2 = a 2 + c 2 или c 2 = a 2 + b 2

Треугольник будет остроугольным, если квадрат каждой стороны строго меньше суммы квадратов двух других сторон. То есть одновременно выполняется три неравенства:

Треугольник является тупоугольным, если существует такая сторона, квадрат которой строго больше суммы квадратов двух других сторон. То есть выполняется одно из трех неравенств:

a 2 > b 2 + c 2 или b 2 > a 2 + c 2 или c 2 > a 2 + b 2

if ((a >= b + c) or (b >= a + c) or (c >= a + b))

then res := ‘NONE’ else

if ((a*a = b*b + c*c) or (b*b = a*a + c*c) or (c*c = a*a + b*b))

then res := ‘RIGHT’ else

then res := ‘ACUTE’ else

Задача решена, но имеет один недостаток. При проверке типа треугольника приходится каждый раз проверять три условия: в каждом из условных операторов if стоит три выражения. Можно сделать так, что в каждом условном операторе будет стоять лишь одно условие. Подумайте, как это сделать?

Например, в языке Си, отсортировать три числа можно так:

Язык Паскаль вообще не имеет функций сортировки. Здесь, уже на элементарной задаче, мы столкнулись с бедностью языка Паскаль. Реализовать сортировку непосредственно операциями сравнения в этой задаче можно, так как число переменных не велико. Если бы их было больше – требовалось бы заводить массив и уже писать один из классических алгоритмов сортировки.

Если мы сможем эффективно отсортировать числа a, b, c, то программа примет вид:

if c >= a + b then res := ‘NONE’ else

if c*c = a*a + b*b then res := ‘RIGHT’ else

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Какой - самый большой справочник ответов на вопрос какой
Adblock
detector