при каких условиях материальная точка будет находиться в состоянии равновесия

Условия равновесия материальной точки и твердого тела

Все силы, действующие на материальную точку, приложены в одной точке. Результирующая сила определяется как геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку. Если результирующая сила равна нулю, то согласно 2-го закона Ньютона ускорение материальной точки равно нулю, скорость постоянна или равна нулю, материальная точка находится в состоянии равновесия.

Условие равновесия материальной точки: . (6.1)

Гораздо более важным вопросом в статике является вопрос о равновесии протяженного тела, поскольку на практике приходится иметь дело именно с такими телами. Ясно, что для равновесия тела необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на тело, равнялась нулю. Но выполнение этого условия недостаточно. Рассмотрим горизонтально расположенный стержень, способный вращаться относительно горизонтальной оси О (рис. 6.2). На стержень действуют: сила тяжести , сила реакции оси, две внешние силы и , равные по величине и противоположные по направлению. Результирующая этих сил равна нулю:

,

однако наш практический опыт подсказывает нам, что стержень начнет вращаться, т.е. не будет находиться в состоянии равновесия. Обращаем внимание, что моменты сил и относительно оси О равны нулю, моменты сил и не равны нулю и оба положительны, силы стараются повернуть стержень по часовой стрелке относительно оси О.

На рис.6.3 силы и равны по величине и направлены одинаково. Результирующая всех сил, действующих на стержень, равна нулю ( в этом случае сила больше, чем в первом случае, она уравновешивает результирующую трех сил – , и ). Результирующий момент всех сил равен нулю, стержень находится в равновесии. Приходим к выводу, что для равновесия тела необходимо выполнение двух условий.

Условия равновесия протяженного тела:

; (6.2)

. (6.3)

Запишем важные правила, которыми можно пользоваться при рассмотрении условий равновесия тела.

1. Векторы приложенных к телу сил можно перемещать вдоль линии их действия. Результирующая сила и результирующий момент при этом не меняются.

2. Второе условие равновесия выполняется относительно любой оси вращения. Удобно выбирать такую ось вращения, относительно которой уравнение (6.3) будет наиболее простым. Например, относительно оси О на рис. 6.2 моменты сил и равны нулю.

Устойчивое равновесие. В устойчивом равновесии потенциальная энергия тела минимальна. При смещении тела из положения устойчивого равновесия потенциальная энергия возрастает, возникает результирующая сила, направленная к положению равновесия.

Неустойчивое равновесие. При смещении тела из положения неустойчивого равновесия потенциальная энергия уменьшается, возникает результирующая сила, направленная от положения равновесия.

Центр тяжести тела – точка приложения результирующей всех сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела.

Признак равновесия. Тело сохраняет равновесие, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести, пересекает площадь опоры тела.

Источник

Статика. Равновесие механической системы (абсолютно твердого тела).

Равновесие механической системы — это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным, если неинерциальна — относительным.

Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой — эти силы взаимодействия называются внутренними. Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.

Согласно второму закону Ньютона, чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:

где — геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на i-й элемент тела.

Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.

Из легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:

.

Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона: векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.

.

Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.

Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.

Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.

Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:

.

Источник

Равновесие материальной точки и тверды тел. Условие равновесия. Момент силы.

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема: Равновесие материальной точки и твердого тела. Условие равновесия. Момент силы. Равновесие жидкости и газа. Движение жидкостей и газа.

Цель : рассмотреть понятие равновесия различных веществ. Условие их равновесия. Определить момент силы и движения.

Статика – раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твердых тел, называется статикой

Абсолютно твердое тело – модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются.

Центр тяжести – центром тяжести тела называют точку, через которую при любом положении тела в пространстве проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела.

Неустойчивое равновесие — это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.

Безразличное равновесие системы — равновесие, при котором после устранения причин, вызвавших малые отклонения, система остается в покое в этом отклоненном состоянии

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Равновесие – это состояние покоя, т.е. если тело покоится относительно инерциальной системы отсчета, то говорят, что оно находится в равновесии. Вопросы равновесия интересуют строителей, альпинистов, артистов цирка и многих-многих других людей. Любому человеку приходилось сталкиваться с проблемой сохранения равновесия. Почему одни тела, выведенные из состояния равновесия, падают, а другие – нет? Выясним, при каком условии тело будет находиться в состоянии равновесия.

Раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твердых тел, называется статикой. Статика является частным случаем динамики. В статике твердое тело рассматривается как абсолютно твердое, т.е. недеформируемое тело. Это означает, что деформация так мала, что её можно не учитывать.

Центр тяжести существует у любого тела. Эта точка может находиться и вне тела. Как же подвесить или подпереть тело, чтобы оно находилось в равновесии.

Подобную задачу в свое время решил Архимед. Им же были введены понятие плеча силы и момента силы.

Плечо силы — это длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на ее плечо.

После своих исследований Архимед сформулировал условие равновесия рычага и вывел формулу:

Это правило является следствием 2-го закона Ньютона.

Первое условие равновесия

Для равновесия тела необходимо, чтобы сумма всех сил, приложенных к телу была равна нулю.

формула должна быть в векторном виде и стоять знак суммы

Второе условие равновесия

При равновесии твердого тела сумма моментов вcех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Не менее важен случай, когда тело имеет площадь опоры. Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Известно, что в городе Пизе в Италии существует наклонная башня. Несмотря на то, что башня наклонена, она не опрокидывается, хотя ее часто называют падающей. Очевидно, что при том наклоне, которого башня достигла к настоящему времени, вертикаль, проведенная из центра тяжести башни, все еще проходит внутри ее площади опоры.

В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью.

Различают 3 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.

Если при отклонении тела от положения равновесия, возникают силы или моменты сил, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия, то такое равновесие называется устойчивым.

Неустойчивое равновесие — это противоположный случай. При отклонении тела от положения равновесия, возникают силы или моменты сил, которые стремятся увеличить это отклонение.

Наконец, если при малом отклонении от положения равновесия тело все равно остается в равновесии, то такое равновесие называется безразличным.

Чаще всего необходимо, чтобы равновесие было устойчивым. Когда равновесие нарушается, то сооружение становится опасным, если его размеры велики.

Примеры и разбор решения заданий

Момент силы – это величина равная произведению модуля силы на её плечо.

Сначала найдём плечо силы, для этого нам надо опустить перпендикуляр из точки опоры на линию действия силы. Плечо силы тяжести равно расстоянию АС. Так как угол равен 45°, то мы видим, что АС=АВ

Модуль силы тяжести находим по формуле:

После подстановки числовых значений величин мы получим:

F=40×9,8 =400 Н, М= 400 ×0,5=200 Н м.

По условию задачи рычаг находится в равновесии. Напишем второе условие равновесия для рычага:

.

После подстановки числовых значений величин получим

F= (100×9,8 ×2 + 0,5×40×9,8×8)/8=450 Н

Рассмотрим силу F→, приложенную к некоторой точке A.

Моментом M силы F→ относительно точки O называется произведение модуля силы F→ на ее плечо d, где плечо d — расстояние от точки O до линии AB действия силы F→:

M=F ⋅ d, где F=|F→| и d=OA ⋅ cos ⁡ α.

Рассмотрим силу F→, приложенную к некоторой точке A.

Моментом M силы F→ относительно точки O называется произведение модуля силы F→ на ее плечо d, где плечо d — расстояние от точки O до линии AB действия силы F→:

Источник

Условия равновесия в механике

Равновесие в статике – это отсутствие движения. Чтобы объект находился в равновесии, нужно, чтобы выполнялись некоторые условия, рассмотрим их.

Условие равновесия материальной точки

Чтобы материальная точка находилась в равновесии, нужно, чтобы она не двигалась поступательно.

Примечания:

Материальная точка будет находиться в равновесии, когда выполняются два условия:

1. Векторная cумма сил, действующих на точку, должна равняться нулю.

Примечание: При выполнении этого условия, точка будет либо покоиться, либо двигаться вдоль прямой с одной и той же скоростью. Это следует из первого закона Ньютона.

2. Систему отсчета дополнительно выберем так, чтобы координаты точки в системе не менялись при выполнении условия 1.

Примечание: Такая система отсчета будет называться инерциальной, а точка будет покоиться относительно этой системы.

Условие равновесия тела

Чтобы тело находилось в равновесии, нужно, чтобы оно не двигалось поступательно и не вращалось.

Примечание: Тело, состоящее из нескольких точек, может вращаться вокруг оси, проходящей через центр этого тела. Поэтому, для тела условия равновесия нужно дополнить еще одним пунктом. Таким образом, получим три условия.

1. Алгебраическая cумма моментов сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

\[ \large \boxed < M_<1>+ M_ <2>+ M_ <3>+ \ldots + M_ = 0>\]

Примечания:

2. Векторная cумма сил, действующих на тело, должна равняться нулю.

Примечания:

3. Систему отсчета выберем так, чтобы координаты всех точек тела не менялись в ней при равенстве нулю векторной суммы сил.

Условия равновесия применяются для решения задач статики, связанных с моментами сил.

Виды равновесия

Различают такие виды равновесия:

Рассмотрим однородный шар (или, например, мяч), который покоится (рис. 1) на горке – а), на горизонтальном участке – б), и в ложбинке – в).

Неустойчивое равновесие

На вершине горы мяч находится в неустойчивом равновесии, потому, что стоит нам подтолкнуть мяч и, он скатится с горки (рис. 1а).

Равновесие неустойчивое:
при малом отклонении
потенциальная энергия тела уменьшается
силы и моменты сил
еще больше уводят тело от положения равновесия.

В состоянии неустойчивого равновесия потенциальная энергия тела максимальна!

Безразличное равновесие

На горизонтальном участке мяч будет покоиться в любом месте, в которое мы его поместим (рис. 1б). Подтолкнем мяч, он перекатится в другое положение и там будет оставаться в безразличном равновесии.

Если потенциальная энергия тела при его перемещении из одной точки пространства в другую точку остается постоянной, равновесие можно назвать безразличным.

Устойчивое равновесие

Мяч находится в ложбинке в устойчивом равновесии (рис. 1в). Легонько подтолкнув мяч, мы выведем его из равновесия, но через непродолжительное время мяч опять вернется в ложбинку.

Равновесие устойчивое:
при малом отклонении от равновесия
потенциальная энергия тела увеличивается
силы и моменты сил
возвращают тело в положение равновесия.

Примечание: Потенциальная энергия тела будет минимально возможной, когда тело находится в устойчивом равновесии!

Равновесие тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси

Рассмотрим однородный шар, изготовленный, к примеру, из пенопласта. Проткнем его спицей, после закрепим ее горизонтально, подобно перекладине на двух опорах (рис. 2).

Спица будет являться неподвижной осью вращения.

Рассмотрим три случая для тела, могущего вращаться вокруг оси. Ось вращения

Примечание для случаев устойчивого и неустойчивого равновесия:

центр масс расположен на вертикальной линии (пунктир на рисунках 2б и 2в), проходящей через ось вращения.

Вокруг неподвижной оси может вращаться любое тело, в том числе, продолговатое, например, рычаг. В задачах статики для него применяют условия равновесия рычага.

Тело опирается на площадь поверхности

Условие равновесия для такого тела:

Проекция центра масс должна лежать внутри площади основания.

Допустим, зодчий захотел построить наклонную башню. Заменим для упрощения башню однородным наклонным цилиндром (рис. 3).

Упадет ли наклонная башня?

На рисунке 3а проекция центра масс попадает внутрь площади основания. Поэтому, башня, обладающая таким наклоном, не упадет.

Если центр масс выйдет за пределы площади, на которую тело опирается, то башня опрокинется (рис 3б).

Примечание: Башня своим весом давит на площадь основания – круг. Сила давления распределяется по всему основанию тела.

Источник

Условия и уравнения равновесия материальной точки

Пусть свободная материальная точка находится в состоянии покоя (равновесия) относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Тогда ее ускорение относительно этой системы отсчета равно нулю и основное уравнение динамики (7) свободной точки запишется в виде

. (11)

Отсюда следует условие равновесия свободной материальной точки в векторной форме: для равновесия свободной материальной точки необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма действующих на нее сил была равна нулю, а силовой многоугольник, образованный силами, действующими на точку, должен быть замкнутым.

Проектируя равенство (11) на координатные оси, получим три алгебраических уравнения:

. (12)

Уравнения (12) называются уравнениями равновесия свободной материальной точки. Они показывают, что для равновесия этой точки необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций действующих на нее сил на оси координат были равны нулю.

Простейшей уравновешенной системой сил, действующих на материальную точку, будут две равные по модулю и направленные в противоположные стороны вдоль одной прямой силы и (рис. 14).

Действительно, в этом случае в соответствии с правилом векторной алгебры имеем

.

Если эта система сил будет приложена к покоящейся точке, то равновесие точки не нарушается.

Принцип освобождаемости от связей позволяет распространить условие (11) и уравнения (12) и на случай несвободной материальной точки. Для этого нужно мысленно освободить точку от связей и присоединить к активным силам ещё и реакции связей. В этом случае векторное условие равновесия материальной точки запишется в виде

, (13)

где и – равнодействующие соответственно активных сил и реакций связей, приложенных к несвободной материальной точке.

Источник