при каких условиях движущийся электрический заряд излучает электромагнитные волны

Электромагнитные волны

теория по физике 🧲 колебания и волны

Вспомним, что волна — это колебания, распространяющиеся в пространстве. Механическая волна представляет собой колебания, распространяющиеся в вещественной среде. Тогда электромагнитная волна — это электромагнитные колебания, которые распространяются в электромагнитном поле.

Как появляются и распространяются электромагнитные волны

Представьте себе неподвижный точечный заряд. Пусть его окружают еще много таких зарядов. Тогда он будет действовать на них с некоторой кулоновской силой (и они на него). А теперь представьте, что заряд сместился. Это приведет к изменению расстояния по отношению к другим зарядам, а, следовательно, и к изменению сил, действующих на них. В результате они тоже сместятся, но с некоторым запаздыванием. При этом начнут смещаться и другие заряды, которые взаимодействовали с ними. Так распространяется электромагнитные взаимодействия.

Теперь представьте, что заряд не просто сместился, а он начал быстро колебаться вдоль одной прямой. Тогда по характеру движения он будет напоминать шарик, подвешенный к пружине. Разница будет только в том, что колебания заряженных частиц происходят с очень высокой частотой.

Вокруг колеблющегося заряда начнет периодически изменяться электрическое поле. Очевидно, что период изменений этого поля, будет равен периоду колебаний заряда. Периодически меняющееся электрическое поле будет порождать периодически меняющееся магнитное поле. Это магнитное поле, в свою очередь, будет создавать переменное электрическое поле, но уже на большем расстояние от заряда, и т.д. В результате появления взаимно порождаемых полей в пространстве, окружающем заряд, возникает система взаимно перпендикулярных, периодически меняющихся электрических и магнитных полей. Так образуется электромагнитная волна, которая распространяется от колеблющегося заряда во все стороны.

Электромагнитная волна не похожа на те возмущения вещественной среды, которые вызывают механические волны. Посмотрите на рисунок. На нем изображены векторы напряженности → E и магнитной индукции → B в различных точках пространства, лежащих на оси Oz, в фиксированный момент времени. Никаких гребней и впадин среды при этом не появляется.

Picture 1 291w201h

В каждой точке пространства электрические и магнитные пол меняются во времени периодически. Чем дальше расположена точка от заряда, тем позднее ее достигнут колебания полей. Следовательно, на разных расстояниях от заряда колебания происходят с различными фазами. Колебания векторов → E и → B в любой точке совпадают по фазе.

Длина электромагнитной волны — расстояние между двумя ближайшими точками, в которых колебания происходят в одинаковых фазах.

Длина электромагнитной волны обозначается как λ. Единица измерения — м (метр).

Обратите внимание на рисунок выше. Векторы магнитной индукции и напряженности поля, являющиеся периодически изменяющимися величинами, в любой момент времени перпендикулярны направлению распространения волны. Следовательно, электромагнитная волна — поперечная волна.

Условия возникновения электромагнитных волн

Электромагнитные волны излучаются только колеблющимися заряженными частицами. При этом важно, чтобы скорость их движения постоянно менялась, т.е. чтобы они двигались с ускорением.

Наличие ускорения — главное условие возникновения электромагнитных волн.

Электромагнитное поле может излучаться не только колеблющимся зарядом, но и заряженной частицей, перемещающейся с постоянно меняющейся скоростью. Интенсивность электромагнитного излучения тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд.

Представим заряд, движущийся с постоянной скоростью. Тогда создаваемые им электрическое и магнитное поля будут сопровождать его как шлейф. Только при ускорении заряда поля «отрываются» от частицы и начинают самостоятельное существование в форме электромагнитных волн.

Впервые существование электромагнитных волн предположил Максвелл, который посчитал, что они должны распространяться со скоростью света. Но экспериментально они были обнаружены лишь спустя 10 лет после смерти ученого. Их открыл Герц. Он же подтвердил, что скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света: c = 300 000 км/с.

Плотность потока электромагнитного излучения

Излученные электромагнитные волны несут с собой энергию. Рассмотрим поверхность площадью S, через которую электромагнитные волны переносят энергию.

image2

На рисунке выше прямые линии указывают направления распространения электромагнитных волн. Это лучи — линии, перпендикулярные поверхностям, во всех точках которых колебания происходят в одинаковых фазах. Такие поверхности называются волновыми поверхностями.

Плотность потока электромагнитного излучения, или интенсивность волны — отношение электромагнитной энергии ΔW, проходящей за время Δt через перпендикулярную лучам поверхность площадью S, к произведению площади S на время Δt.

Плотность потока электромагнитного излучения обозначается как I. Единица измерения — Вт/м 2 (ватт на квадратный метр). Поэтому плотность потока электромагнитного излучения фактически представляет собой мощность электромагнитного излучения, проходящего через единицу площади поверхности.

Численно плотность потока электромагнитного излучения определяется формулой:

Выразим I через плотность электромагнитной энергии и скорость ее распространения с. Выберем поверхность площадью S, перпендикулярную лучам, и построим на ней как на основании цилиндр с образующей cΔt (см. рисунок ниже).

image3

Объем цилиндра: ΔV = ScΔt. Энергия электромагнитного поля внутри цилиндра равна произведению плотности энергии на объем: ΔW = w cΔtS. Вся эта энергия за время Δt пройдет через правое основание цилиндра. Поэтому получаем:

Следовательно, плотность потока электромагнитного излучения равна произведению плотности электромагнитной энергии на скорость ее распространения.

Точечный источник излучения

Источники излучения электромагнитных волн могут быть весьма разнообразными. Простейшим является точечный источник.

Точечный источник — источник излучения, размеры которого много меньше расстояния, на котором оценивается его действие.

Предполагается, что точечный источник посылает электромагнитные волны по всем направлениям с одинаковой интенсивностью. В действительности таких источников не существует. Но за такие источники излучения можно принять звезды, так как расстояние между ними существенно больше размеров самих звезд.

Энергия, которую переносят электромагнитные волны, с течением времени распределяется по все большей и большей поверхности. Поэтому энергия, передаваемая через поверхность единичной площадки за единицу времени, т. е. плотность потока излучения, уменьшается по мере удаления от источника.

Плотность потока излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника.

Зависимость плотности потока излучения от частоты

Напряженность электрического поля и магнитная индукция электромагнитной волны пропорциональны ускорению заряда. Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально квадрату частоты. Поэтому напряженность электрического поля и магнитная индукция также пропорциональны квадрату частоты:

Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности поля. Энергия магнитного поля, как это можно показать, пропорциональна квадрату магнитной индукции. Полная плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей. Поэтому плотность потока излучения I пропорциональна:

Плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени частоты. Так, при увеличении частоты колебаний зарядов в 2 раза энергия, излучаемая ими, возрастает в 16 раз. При увеличении частоты в 3 раза, энергия излучения увеличивается в 81 раз, и т.д.

Пример №3. Частота электромагнитной волны уменьшилась в 4 раза. Найти, во сколько раз изменилась плотность потока излучения.

Так как плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени частоты, мы можем найти плотность потока излучения путем извлечения корня из числа 4 дважды:

Плотность потока излучения уменьшилась в 1,4 раза.

Свойства электромагнитных волн

Современные радиотехнические устройства позволяют провести очень наглядные опыты по наблюдению свойств электромагнитных волн. При этом лучше всего пользоваться волнами сантиметрового диапазона. Эти волны излучаются специальным генератором сверхвысокой частоты (СВЧ). Электрические колебания генератора модулируют звуковой частотой. Принятый сигнал после детектирования подается на громкоговоритель.

Свойство 1 — Поглощение электромагнитных волн
image4 211w59h Если расположить рупоры друг против друга и добиться хорошей слышимости звука в громкоговорители, а затем поместить между ними диэлектрик, звук будет менее громким.
Свойство 2 — Отражение электромагнитных волн
image5 236w136h Если диэлектрик заменить металлической пластиной, то звук перестанет быть слышимым. Волны не достигают приемника вследствие отражения. Отражение происходит под углом, равным углу падения, как и в случае световых и механических волн. Чтобы убедиться в этом, рупоры располагают под одинаковыми углами к большому металлическому листу. Звук исчезнет, если убрать лист или повернуть его.
Свойство 3 — Преломление электромагнитных волн
image6 Электромагнитные волны изменяют свое направление (преломляются) на границе диэлектрика. Это можно обнаружить с помощью большой треугольной призмы из парафина. Рупоры располагают под углом друг к другу, как и при демонстрации отражения. Металлический лист заменяют затем призмой. Убирая призму или поворачивая ее, наблюдают исчезновение звука.
Свойство 4 — Поперечность электромагнитных волн
image7 291w87h Поместим между генератором и приемником решетку из параллельных металлических стержней. Решетку расположим так, чтобы стержни были горизонтальными или вертикальными. При одном из этих положений, когда электрический вектор параллелен стержням, в них возбуждаются токи, в результате чего решетка начинает отражать волны, подобно сплошной металлической пластине. Когда же вектор перпендикулярен стержням, токи в них не возбуждаются и электромагнитная волна проходит через решетку.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны имеют большое разнообразие. Они классифицируются по длине волны λ или связанной с ней частоте ν. Шкала электромагнитных волн включает в себя:

Укажем частоты и длины указанных волн, а также их подробную классификацию в таблице.

Частоты и длины волн электромагнитного излучения видимого спектра смотрите на рисунке ниже.

image8 258w170h

Источник

Как возникают электромагнитные волны

image loader
Bremsstrahlung («тормозное излучение») — ударная волна света, которая генерируется, когда заряженные частицы «застревают» в твердом теле (классический процесс генерации излучения в рентгеновских вакуумных трубках).

Для многих вполне естественно ассоциировать электрическое и магнитное поля с векторами и силовыми линиями. Но как этими математическими объектами описать волны? Когда они возникают? Ответы на эти вопросы можно получить с помощью школьных формул с щепоткой специальной теории относительности.

По старой традиции, начинаем плясать от печки. Пусть имеются две заряженные параллельные пластины. Электрическое поле между ними равномерно, и равно нулю снаружи (пренебрегаем краевыми эффектами). Также мы сажаем на систему неподвижную гауссову поверхность — это абстрактная рамка, через которую вычисляется поток векторного поля. Каково электрическое поле нашего конденсатора в системе отсчета, где он находится в движении?

image loader

Начнем со случая, где движение происходит в направлении, параллельном пластинам. Они начинают претерпевать лоренцево сокращение, при этом расстояние между ними не меняется, и общий заряд на каждой пластине сохраняется. Далее предполагаем, что читатель провел достаточное количество бессонных ночей разбираясь с парадоксами специальной теории относительности (Чтобы освежевать память, предлагаю просмотреть ламповый советский видеоролик). Таким образом, рамка фиксирует что заряд на единицу площади увеличивается в 9819daf4e1d3fe73c21b08abf0640b90, а поле также возрастает на этот Лоренц-фактор.

Разберем детальней. Гауссова рамка оседлала положительно-заряженную пластину, причем одна грань снаружи, а другая — внутри области ненулевого электрического поля. Применяя закон Гаусса можно показать, что величина электрического поля между пластинами равна

c57dbb02ea353085cd4a636108bb29f7

где штрих обозначает величину, измеренную в рамке в которой пластины движутся, а сигма — поверхностная плотность заряда пластины. Поскольку пластины сокращаются по длине, поверхностная плотность заряда отличается от оной для неподвижных пластин вот так

66554b9b7c482f0228e4d4fc56698980

Поглядывая на первую формулу заключаем, что величина поля тоже претерпевает действие лоренцева множителя. То есть, электрическое поле в загрунтованной рамке сильнее, чем в той, что будет двигаться вместе с пластинами.

А как будет выглядеть ситуация, если движение происходит в направлении, перпендикулярном пластинам, то есть параллельно полю Е? В этом случае сокращение длины не влияет на размер пластин, хотя и уменьшает расстояние между ними. Но расстояние между парой близко расположенных, равномерно заряженных пластин не влияет на напряженность поля между ними.

Тогда рассмотрим самый общий случай, когда движение происходит в некотором диагональном направлении относительно поля. В этом случае мы можем рассматривать поле как суперпозицию поля параллельного и поля перпендикулярного движению. Каждое из них как бы порождается своим набором соответствующим образом ориентированных пластин. Затем одна пара пластин сжимается по длине, как описано выше, и вносит вклад в общее поле:

image loader

Важно помнить, что такого рода телодвижения применимы только в том случае, если источник поля с точки зрения незакрепленной рамки будет находиться в состоянии покоя. Поскольку всегда существует некоторая система отсчета, в которой любой конкретный источник находится в состоянии покоя, этих уравнений достаточно для решения широкого круга задач. Заметим, что закон преобразования для вектора электрического поля сильно отличается от закона преобразования для обычных векторов перемещения (которые сжимаются в направлении вдоль движения и неизменны в перпендикулярных направлениях).

Равномерное движение точечного заряда

Следующим шагом будет рассмотрение поля единичного точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. В своей системе покоя электрическое поле положительного точечного заряда имеет одинаковую силу во всех направлениях. Как выглядит это поле в какой-то другой системе отсчета? Применяя наш подход к неоднородному электрическому полю, мы должны быть очень осторожны, так как придется следить не только за величиной поля, но и за тем, где оно имеет эту величину. Поэтому представим себе, что наш точечный заряд окружен сферической оболочкой. В нашей системе отсчета и частица, и ее сфера движутся.

Таким образом, сокращение длины говорит о том, что сфера сплющивается в сфероид, как показано в поперечном сечении на рисунке:

image loader
(a) Точечный заряд в состоянии покоя, окруженный воображаемой сферой. Электрическое поле в любой точке сферы направлено прямо в сторону от заряда. (b) В системе отсчета, где заряд и сфера движутся вправо, сфера сжимается по длине, но вертикальная составляющая поля становится сильнее. Эти два эффекта объединяются, чтобы заставить поле снова указывать прямо от текущего местоположения заряда.

Теперь рассмотрим величину электрического поля в некой точке поверхности сферы. Ее координата имеет х и у компоненты. Вектор поля идущий от заряда через эту некую точку также вполне представим как пара компонент, причем справедливо соотношение:

4364aa48dd2eb8104e5f21b917a19264

В нашей системе отсчета, где заряд движется, длина x в направлении движения уменьшается:

afc46e7ee4f042ef55030be3debf1aa0

(в то время как y-составляющая смещения одинакова в обоих случаях). Однако, согласно результатам предыдущего раздела, y-составляющая поля усиливается аналогичным множителем:

f1c94409990e29194166a0079cc69811

(в то время как х-компонента поля одинакова на обеих картинках). Таким образом, соотношение компонентов поля

e15f8786e6648d9ae2730979191dae4e

Другими словами, поле в фиксированной рамке указывает прямо на заряд, как и в движущейся. Накидаем схематически электрическое поле точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью:

image loader
Электрическое поле точечного заряда движущегося вправо с постоянной скоростью, равной 4/5 скорости света.

Чем быстрее движется заряд, тем заметнее становится усиление перпендикулярной составляющей поля. Если скорость заряда намного меньше скорости света, то это усиление часто пренебрежимо мало.

Поле ускоряющегося заряда

Итак, когда точечный заряд движется с постоянной скоростью, его электрическое поле всегда направлено прямо от него, радиально. В свете специальной теории относительности это может показаться странным, поскольку никакая информация не может перемещаться быстрее скорости света. Почему же тогда поле в каком-то отдаленном месте указывает прямо на то место, где заряд находится сейчас, а не на то, где он был некоторое время назад? Означает ли это, что информация о движении заряда мгновенно распространяется по всей Вселенной? Ну, не обязательно.

Видите ли, частица уже некоторое время движется с постоянной скоростью по предсказуемому курсу. Поэтому, если вы находитесь в далеком месте, вы могли бы организоваться так, чтобы частица посылала вам информацию о своем положении и скорости, а вы, получив эту информацию, экстраполировали бы движение чтобы выяснить, где частица должна находиться. Однако ваша схема предсказания положения частицы будет разрушена, если частица претерпит некоторое ускорение между тем моментом, когда она послала вам информацию, и настоящим.

Вы могли бы подумать, что частица продолжает двигаться с постоянной скоростью, и поле в вашем местоположении указывало бы в сторону того места, где частица была бы сейчас, если бы не было факта ускорения. Но на самом деле частицы там нет.

Например, предположим, что частица сначала движется вправо со скоростью 1/4 скорости света, а затем внезапно отскакивает от стены и с той же скоростью летит обратно. Через одну секунду новость об отскоке не могла пройти дальше одной световой секунды (300 000 км). Если вы находитесь ближе, чем на одну световую секунду к месту отскока, то вы уже получили известие, и поле в вашем местоположении указывает туда, где сейчас находится частица. Но если вы находитесь дальше, чем на одну световую секунду от места отскока, то новость еще не дошла до вас, и поле в вашем местоположении указывает туда, где частица была бы сейчас, если бы не было отскока.

image loader
Положительно заряженная частица, первоначально движущаяся вправо со скоростью 1/4 скорости света, отскакивает от стены в точке В. Частица сейчас находится в точке А, но если бы не было отскока, она была бы сейчас в точке С. Окружность (фактически поперечное сечение сферы) охватывает область пространства, в которую уже поступила новость об отскоке; внутри этой окружности (как в точке D) электрическое поле указывает прямо на точку A. Вне окружности (как в точке E) новость еще не поступила, поэтому поле указывает прямо на точку C. Со временем круг расширяется наружу со скоростью света, а точки А и С удаляются от точки В со скоростью 1/4 скорости света.

Из специальной теории относительности мы знаем, что никакая информация не может перемещаться быстрее скорости света. Предположим наилучший возможный случай: информация распространяется точно со скоростью света, но не быстрее. Этого предположения вместе с законом Гаусса достаточно, чтобы определить электрическое поле повсюду вокруг ускоренного заряда. Полная карта электрического поля ускоренного заряда оказывается довольно сложной. Вместо того чтобы представлять поле в виде пучка стрелок, гораздо удобнее использовать более абстрактное представление в виде линий поля. Силовые линии — это непрерывные линии в пространстве, идущие параллельно направлению электрического поля. Таким образом, рисунок силовых линий в некой области немедленно сообщает нам направление электрического поля, хоть определить его величину и не так просто.

Так будет выглядеть карта полевых линий для нашей ситуации

image loader

Линии поля через серую сферическую оболочку опускаем, так как эта область как раз в разгаре получения новостей об ускорении частицы. Чтобы определять направление поля здесь, представьте, что гауссовская рамка изогнута (на рисунке обозначена пунктирной линией, которая оседлает серую оболочку. Эта поверхность должна быть симметричной относительно линии, по которой движется частица; если смотреть вдоль этой линии, рамка будет круглой).

Гауссова поверхность не содержит электрического заряда, поэтому закон Гаусса говорит нам, что полный поток E через нее должен быть равен нулю. Теперь рассмотрим поток, проходящий через различные части поверхности. На внешней (правой) части есть положительный поток, в то время как на внутренней (левой) части есть отрицательный поток. Но эти два вклада в поток не отменяют друг друга, так как поле значительно сильнее снаружи, чем внутри. Это происходит потому, что поле снаружи — это поле точечного заряда, расположенного в точке С, в то время как поле внутри — это поле точечного заряда, расположенного в точке А, и С значительно ближе, чем А. Таким образом, общий поток через внутреннюю и внешнюю части поверхности является положительным. Чтобы отменить этот положительный поток, остальные края рамки должны пропускать отрицательный поток.

Таким образом, электрическое поле внутри серой оболочки должно иметь ненулевую составляющую вдоль оболочки, по направлению к центру гауссовой поверхности. Будем называть эту составляющую поперечным полем, поскольку она указывает в поперечном (то есть перпендикулярном) чисто радиальном направлении поля с обеих сторон. Чтобы быть более точными относительно направления поля внутри серой оболочки, рассмотрим модифицированную гауссову поверхность

image loader

Ужимаем внешнюю поверхность ef до тех пор, пока она не уменьшится до того же угла относительно точки С, что и внутренняя поверхность ab, если смотреть с точки A. Теперь потоки через ab и ef действительно взаимокомпенсируются. Отрезки bc и de выбраны так, чтобы они были точно параллельны линиям поля в их местоположении, поэтому поток через эти участки поверхности отсутствует.

И тогда, для того, чтобы общий поток был равен нулю, он должен быть нулевым и через сегмент cd. Это означает, что электрическое поле внутри серой оболочки должно быть параллельно cd. Если стартануть с точки А и пойти по любой линии поля наружу, то придется навернуть резкий угол на внутреннем краю серой оболочки, а затем пройти вдоль оболочки и медленно выйти наружу, сделав еще один резкий поворот на внешнем краю. (Толщина серой оболочки определяется длительностью ускорения заряда.)

image loader

И вот выходит итоговая иллюстрация силовых линий. Поперечная часть электрического поля ускоренного заряда также называется полем излучения, поскольку со временем она «излучается» наружу в сферу, расширяющуюся со скоростью света. Если ускорение заряженной частицы достаточно велико, то поле излучения может быть достаточно сильным, воздействуя на далекие заряды гораздо сильнее, чем обычное радиальное поле заряда, движущегося с постоянной скоростью. Поле излучения может также накапливать относительно большое количество энергии, которая уносится от создавшего ее заряда.

Сила поля излучения

Чтобы превратить качественные идеи предыдущего раздела в количественные формулы,
рассмотрим несколько более простую ситуацию, в которой положительно заряженная частица вначале летит вправо, а потом внезапно останавливается. Пусть v₀ — начальная скорость, и пусть замедление начинается в момент времени t = 0 и заканчивается в момент времени t = t₀. Предположим, что ускорение является постоянным в течение этого временного интервала:

2396cffc6ed0549195ff13ce784eba0e

Также положим, что v₀ намного меньше скорости света, так что релятивистское сжатие и растяжение электрического поля, обсуждаемые ранее, пренебрежимо малы. Покажем ситуацию в некоторый момент времени T, значительно более поздний, чем t₀. «Импульс» излучения содержится в сферической оболочке толщиной ct₀ и радиусом cT. Вне этой оболочки электрическое поле указывает в сторону от того места, где была бы частица, если бы она продолжала двигаться; эта точка находится на расстоянии v₀T справа от ее фактического местоположения. (Расстояние, пройденное во время торможения ничтожно мало в этом масштабе.) На рисунке для ясности показана только одна полевая линия, выходящая под углом θ от направления движения частицы. В этой линии есть резкий изгиб, когда она проходит через оболочку, как обсуждалось выше. Мы хотели бы знать, насколько сильно электрическое поле внутри оболочки.

image loader

Давайте разберем искривленное поле на две составляющие: радиальную составляющую 7262076ca11683e240accc8b9c84a716, которая указывает в сторону от местоположения частицы, и поперечную составляющую 2baa97ed5924367ad13c4c778d165140, которая указывает в перпендикулярном направлении

image loader

Соотношение этих компонентов определяется направлением излома

1b3ee778c84081c163c0e571b6e3e170

Мы можем найти радиальную компоненту, применив закон Гаусса к крошечной рамке, расположенной на внутренней поверхности оболочки (Gaussian pillbox на рисунке). Пусть стороны рамки будут бесконечно короткими, чтобы поток через них был ничтожен. Тогда, поскольку чистый поток через рамку равен нулю, радиальная составляющая вектора E (то есть составляющая, перпендикулярная верхней и нижней частям рамки) должна быть одинаковой с каждой стороны внутренней поверхности оболочки. Но внутри сферы излучения электрическое поле задается законом Кулона. Таким образом, радиальная составляющая искривленного поля равна

4cf6fd0c262a39851364a270849cdcef

где q — заряд частицы. Подставим это уравнение в предыдущее и используем тот факт, что R = cT:

4e87629ae41afcf86d5a13e89397d206

Таким образом, у нас есть все, что нужно знать о силе импульса излучения. Во-первых, обратите внимание, что поперечное поле пропорционально 1/R, а не квадрату. Это означает, что с течением времени и увеличением R, поперечное поле становится намного сильнее радиального; на очень больших расстояниях радиальным полем можно полностью пренебречь, и поле будет чисто поперечным. Во-вторых, рассмотрим зависимость 2baa97ed5924367ad13c4c778d165140от угла θ: она слабее всего вдоль направления движения (θ = 0 или 180°) и сильнее всего под прямым углом к движению (θ = 90°). Оглядываясь на предыдущий рисунок, мы видим, что размер излома в поле является качественным показателем напряженности поля. Наконец, обратите внимание, что сила поперечного поля пропорциональна а, величине ускорения частицы. Чем больше ускорение, тем сильнее импульс излучения.

Этот импульс излучения несет в себе энергию. Вспомним из электростатики, что энергия на единицу объема, запасенная в любом электрическом поле, пропорциональна квадрату напряженности поля. В нашем случае это подразумевает

514fa0df71a70f6726d750193f08a032

Поскольку объем сферической оболочки (самой оболочки, а не области, которую она охватывает) пропорционален квадрату радиуса, полная энергия, содержащаяся в ней, не изменяется с течением времени и увеличением R. Таким образом, когда заряженная частица ускоряется, она теряет энергию для своего окружения в количестве, пропорциональном квадрату ее ускорения. Этот процесс является основным механизмом, лежащим в основе всего электромагнитного излучения: видимого света и его невидимых собратьев, от радиоволн до гамма-лучей.

Формула Лармора

Теперь можно перейти к приложениям. Выведем точную формулу для энергии, излучаемой ускоренной заряженной частицей. Энергия на единицу объема, запасенная в любом электрическом поле, равна

1dcd4bbc73c6b53ddef1caa15556d3a3

Как только импульс становится достаточно большим, мы можем пренебречь радиальной составляющей поля и просто подключить 2baa97ed5924367ad13c4c778d165140для 9900b463b157adb75e7d4a1b18c410b2. В результате получается

bf6f76b7c4de9e972ac97ad917c017ce

Если нас не волнует направление, в котором идет энергия, то удобно усреднить уравнение по всем направлениям. Провернем один математический трюк. Введем координатную систему с началом координат в центре сферы и осью вдоль первоначального направления движения частицы. Тогда для любой точки (x, y, z) на сферической оболочке cosθ = x/R. Используя угловые скобки〈 〉для обозначения среднего значения по всем точкам на оболочке, запишем тождество

13ed978f8a7fc3a494af2f29d2286b19

Теперь, поскольку начало координат находится в центре сферы, придется согласиться, что среднее значение квадрата икс равно среднему значению и для квадратов других компонент:

05f43f9a34528c69fddfd54d6bf79fa7

но тогда выходит, что

43f78010af832f65ddc43187f22cc228

Ну, а так как 0175753e4e31ce9564fc12052e5c733fи R — константа по всей оболочке, то:

ab978cd1d3bb0c38025e9c2d7115d01d

Таким образом, средняя энергия на единицу объема, запасенная в поперечном электрическом поле, равна

6959da54625d671f02943e2e48bb7efc

Для получения полной энергии, накопленной в поперечном электрическом поле, необходимо умножить полученное выражение на объем сферической оболочки. Площадь поверхности оболочки равна 4πR², а ее толщина — ct₀, поэтому ее объем является произведением этих множителей. Тогда общая энергия

e88df61f9c022e6d59957031d0d9a926

Заметим, что полная энергия не зависит от R; то есть оболочка несет в себе фиксированное количество энергии, которое не уменьшается по мере ее расширения. До сих пор в обсуждениях фигурировало только электрическое поле ускоренного заряда. Но оказывается, что есть еще и магнитное поле, которое уносит равное количество энергии. В принципе, ошибка в два раза не так существенна для нашей формулы, но все же будем честными. Оставим все интересности связанные с магнитным полем на следующий раз, а пока все же учтем, что суммарная энергия, переносимая импульсом излучения, в два раза больше, чем в последнем уравнении, или

985770a750472945cf53990777982ed3

Обычно удобнее разделить обе стороны этого уравнения на длительность ускорения частицы t₀. Левая сторона тогда становится энергией, излучаемой частицей в единицу времени, или мощностью, выделяемой во время ускорения:

7e0da668343cf6a5dccee979df6983bc

Этот результат называется формула Лармора, так как он был впервые получен (с использованием более сложного метода) Джозефом Лармором в 1897 году. Вывод, приведенный здесь, был впервые опубликован Джозефом Томсоном (первооткрывателем электрона) в 1907 году. Хотя наш вывод опиратся на частный случай, когда конечная скорость частицы равна нулю, формула Лармора справедлива для любого вида ускоренного движения при условии, что скорость частицы всегда намного меньше скорости света. Тем не менее, можно сделать и обобщение на релятивистский случай.

Электромагнитные Волны

В предыдущем разделе мы пришли к выводу, что когда заряженная частица ускоряется, часть ее электрического поля вырывается на свободу и удаляется со скоростью света, образуя импульс электромагнитного излучения. Часто на практике заряженные частицы непрерывно колеблются взад и вперед, посылая один импульс за другим в периодической последовательности. Вот пример электрического поля вокруг колеблющегося заряда

image loader

Если проследить прямую линию от заряда в центре рисунка, можно заметить, что поле колеблется взад и вперед. Расстояние, на котором повторяется направление поля, называется длиной волны. Например, точки А и В находятся на расстоянии одной длины волны друг от друга.

image loader

Если вы сидите в неподвижной точке и наблюдаете, как электрическое поле проходит мимо, вы обнаружите, что его направление колеблется. Время, за которое паттерн повторяется один раз, называется периодом волны и равно времени, за которое заряд источника повторяет один цикл своего движения. Период также равен времени, за которое волна проходит расстояние в одну длину волны. Поскольку она движется со скоростью света, мы можем заключить, что длина волны и период связаны пропорцией

b2f4f6264edd3cd5ff2b27a4bf3b7faf

где λ («лямбда») — стандартный символ для длины волны, а Т — это стандартный символ для периода, и с — скорость света. Частота колебания обратнопропорциональна периоду. Из соображений традиции и удобства, электромагнитные волны разной длины называются по-разному. Радиоволны с длиной волны в метр и более генерируются относительно легко, когда заряд проходит вверх и вниз по антенне. Несколько более короткие длины волн используются для телевизионной и микроволновой связи. Инфракрасные волны — длина волны от миллиметра до 700 нанометров; случайные микроскопические движения, присутствующие во всей материи при комнатной температуре, вызывают излучение инфракрасного излучения с длиной волны около сотой доли миллиметра. Более горячие объекты, такие как Солнце, испускают излучение в видимом спектре, который охватывает диапазон 400-700 нанометров, к которому чувствителен человеческий глаз. Длина волны видимого света определяет его цвет, причем красный свет имеет самую длинную длину волны, а фиолетовый — самую короткую. Еще более коротковолновые волны относятся к ультрафиолетовым, рентгеновским и гамма-лучам.

image loader

Почему небо голубое?

Солнце испускает видимый свет всех цветов, который бомбардирует атмосферу Земли. Атмосфера относительно прозрачна для большей части этого света. Но если бы атмосфера была полностью прозрачной, небо казалось бы черным. По-видимому, часть света от Солнца рассеивается или отклоняется молекулами воздуха. Когда мы смотрим на небо в направлении от Солнца, мы видим этот рассеянный свет, который в основном синий, и наоборот, красный свет легче проходит толщу атмосферы, что делает его видимым, когда Солнце находится вблизи горизонта. Но почему молекулы воздуха рассеивают синий свет больше, чем красный? Очевидно, короткие волны рассеиваются гораздо сильнее, чем длинные. Мы можем понять это явление, представив простую модель процесса рассеяния и применив результаты вышепроведенных выкладок, согласно которым энергия, излучаемая ускоренным зарядом, пропорциональна квадрату ускорения. Рассмотрим один атом азота или кислорода в атмосфере.

image loader

Для наших целей лучше всего представить атом как крошечную точку с положительным зарядом (ядро), окруженную большим облаком размазанного отрицательного заряда (электроны). Заряды компенсируются, и атом электрически нейтрален. Теперь предположим, что мимо проходит электромагнитная волна. Электрическое поле в месте расположения атома сначала указывает вверх, затем вниз, затем снова вверх, снова вниз… (Для видимого света длина волны намного больше, чем размер атома.) Хотя нейтральный атом не чувствует чистой силы от этого электрического поля, его составляющие действительно чувствуют силы, поэтому они слегка отклоняются в противоположных направлениях. Впрочем, далеко они не уходят, так как потенциал дает о себе знать. Это похоже на то, как если бы электроны и ядро были соединены вместе жесткой пружиной. Когда волна проходит мимо, ядро слегка колеблется вверх и вниз на той же частоте, что и волна. Мы можем описать его положение как:

aaff069a8f170cd8c365032cacf2ebb6

где ω = 2πc/λ и λ-длина волны. Пока «пружина» очень жесткая, амплитуда x₀ будет зависеть только от силы электрического поля, а не от длины волны. Поскольку ядро колеблется вверх и вниз, оно само испускает электромагнитное излучение с одинаковой частотой и длиной волны. Согласно предыдущим пунктам, излучаемая энергия пропорциональна квадрату ускорения. Ускорение ядра определяется как вторая производная его положения:

65dbe0f7f995e3a5c74b8ecccca368f1

Теперь мы можем определить, как количество излучаемой энергии зависит от длины волны:

db6b9f84b56d4e13e65aaeb726a6717f

Эта формула гласит, что коротковолновая волна заставляет ядро излучать гораздо больше энергии, чем длинноволновая. То же самое верно и в отношении излучения, испускаемого электронами, которые колеблются в противоположном направлении с той же частотой. Это электромагнитное излучение, испускаемое атомом, несет в себе энергию, и энергия должна откуда-то браться. Должно быть правдоподобным, что энергия исходит от поступающей волны, возбуждающей атомные колебания. Эта волна продолжает свой путь, но часть ее энергии была потеряна. Не будем вдаваться в точный механизм этого процесса на данном этапе — просто уповаем на сохранение энергии.

Таким образом, можно заключить, что когда проходит световая волна, атом забирает из нее некоторую энергию и вновь излучает эту энергию как волну той же длины во все направления. Из последнего уравнения видно, что этот процесс гораздо эффективнее для коротковолнового (то есть фиолетового и синего) света, чем для длинноволнового. Вот почему небо голубое. И наоборот, когда смесь различных цветов света проходит через большое количество воздуха, большая часть синего света удаляется, оставляя в основном красный. Вот почему так прекрасны закаты.

Кто-то может возразить, дескать, небо фиолетовое, но на восприятии человека сказывается предрасположенность к синему спектру из-за строения колбочек в глазах, да и вообще, в ваших расчетах слишком много частностей и допущений. Наиболее правильным будет обратить его внимание на неравномерность интенсивности спектра Солнца. А более строгий вывод формулы Лармора осуществляется через уравнения Максвелла, потенциалы Лиенара-Вихерта и функции Грина. Подобные строгие выкладки приводят к тому же результату и описаны во многих книжках по электродинамике (Например Е.Ю.Петров Излучение электромагнитных волн движущимися заряженными частицами). Мы же использовали лекционные наброски Дэниела Шрёдера, который в свою очередь опирался на потрясающий учебник Эдварда Перселла «Электричество и магнетизм», что во многом наглядней и более интуитивно.

Источник

admin
Производства
Adblock
detector