при каких условиях частота случайного события может оценивать вероятность случайного события

При каких условиях частота случайного события может оценивать вероятность случайного события

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Случайные события. Частота. Вероятность.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений (событий).

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием; если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие; если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от 1 до 6, to выпадение пятерки — событие.

Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.

Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n

Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью. Поясним это на примере.

Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 Дальше.

Источник

Относительная частота случайного события

Урок 30. Алгебра 9 класс ФГОС

20210413 vu tg sbscrb2

30

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

20210706 unblock slide1

20210706 unblock slide2

20210706 unblock slide3

Конспект урока «Относительная частота случайного события»

Примерами таких событий являются: выпадение орла или решки при подбрасывании монеты; поражение мишени или промах при стрельбе; выпадение того или иного количества очков при бросании игрального кубика.

Отношение частоты к общему числу испытаний называют относительной частотой этого события.

Пусть некоторое испытание проводилось многократно в одних и тех же условиях. При этом фиксировалось, произошло или нет некоторое интересующее нас событие А.

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

В ходе исследований выяснилось, что относительная частота появления ожидаемого события при повторении опытов в одних и тех же условиях, может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа р.

image001

При подбрасывании монеты отмечают те случаи, когда выпадает орёл.

Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла или решки будут примерно одинаковы. Но при небольшом количестве бросков такой результат может не получиться.

А вот если испытание проводиться большое количество раз, то относительная частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки.

Многие учёные проводили такой эксперимент.

Так, например, английский математик Карл Пирсон бросал монету 24 тысячи раз, и относительная частота выпадения орла оказалось равной 0,5005.

А наш соотечественник, Всеволод Иванович Романовский, подбрасывая монету 80 тысяч 640 раз, нашёл, что относительная частота выпадения орла в его испытании была равна 0,4923.

Заметим, что в обоих случаях относительная частота выпадения орла очень близка к image002.

Говорят, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты правильной геометрической формы равна image002.

В непрозрачном мешке лежит 7 зелёных и 12 синих кубиков. За раз можно доставать только 1 из них. Какова вероятность того, что из мешка достанут синий кубик?

Всего в мешке 19 кубиков. Значит, n=19.

Синий кубик мы можем достать 12 раз. Получаем, что m=12.

Относительная частота равна:

image003

Вероятность того, что из мешка достанут синий кубик, равна image004.

Определить относительную частоту появления буквы «о» в слове «достопримечательность».

Общее число букв, то есть n=21. А количество букв «о», то есть m=3.

Значит относительная частота:

image005

Отмечая число попаданий в корзину в каждой серии из 40 бросков, которые совершал баскетболист, получили такие данные:

image006

Какова относительная вероятность попадания мяча в корзину для данного баскетболиста?

Определим общее число бросков. Было 5 серий по 40 бросков, то есть n=200.

Сосчитаем число попаданий в корзину:

image007

Относительная вероятность попадания в корзину будет:

image008

Стрелок совершил 50 выстрелов. Относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,88. Сколько раз он промахнулся?

Зная общее число выстрелов n=50 и относительную вероятность попадания p=0,88. Найдем число попаданий в цель:

Источник

Случайные события. Вероятность случайного события

Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1. Так, например, событие «Лето составляет 92 дня» является достоверным.

Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным. Вероятность появления невозможного события равна 0. Так, например, событие «После декабря наступит май» является невозможным.

Вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.

Определение вероятности:

Если эксперимент заканчивается одним из 112094 равновероятных исходов, из которых 112095 являются благоприятными для наступления данного события, то вероятность этого события равна 112096.

Вероятность события обозначается буквой 112098. Так, например, вероятность наступления события А записывают так: 112097, где 112095— благоприятное число исходов, 112094— общее число исходов.

Пример: Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: 1) менее трех очков; 2) более шести очков; 3) не более шести очков.

Решение:

1) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них благоприятными являются два исхода: выпадет 1 очко или выпадет 2 очка, т.к. 1 меньше 3 и 2 меньше 3. Поэтому искомая вероятность 112099.

2) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них нет ни одного благоприятного исхода, т.к. более шести очков на кубике выпасть не может, значит, рассматриваемое событие является невозможным и его вероятность 112098= 0.

3) При бросании кубика может произойти 6 равновероятных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Из них все исходы являются благоприятными, т.к. любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7 меньше 7, значит, рассматриваемое событие является достоверным и его вероятность 112098= 1.

Ответ: 1) 112100; 2) 112098= 0; 3) 112098= 1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;

— понятие классической вероятности события;

— поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;

— поиск вероятности суммы событий.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Событие— факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.

2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей

Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.

Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w6>, где wi— выпадение i очков.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».

Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

— Выпал один «орел» и одна «рещка».

3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.

Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.

Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.

1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.

К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Рассмотрим произвольный эксперимент.

Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число c072a1c8 a531 4ce5 84ae 2b49ead5d03e

Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.

Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.

Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.

Таким образом, чаще выпадает сумма 10.

Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.

Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.

Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.

В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.

Источник

Относительная частота события
и статистическое определение вероятности

Сегодня мы завершаем изучение первого раздела теории вероятностей, который посвящён основным подходам к определению вероятности, теоремам сложения и умножения событий, а также их основным следствиям. В учебной литературе статистическое определение вероятности обычно рассматривается в первой же главе, но вот мне показалось удачным отложить этот вопрос на заключительный урок по теме. Давайте вспомним, с чего всё начиналось:

Вероятность наступления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002в некотором испытании – есть отношение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image004, где:

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0000.

О некоторых недостатках классического определения вероятности заходила речь в статье Геометрическое определение вероятности, но это только верхушка айсберга, и сейчас данный вопрос получит интереснейшее продолжение. Начнём опять же с бесхитростных примеров 1-го урока по теории вероятностей:

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image010– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image012– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image014– вероятность того, что из колоды будет извлечена трефа

Внимательный читатель заметил, что все комментарии о вероятностях сформулированы в будущем времени. И это не случайность – классическое определение, как правило, оценивает вероятность ДО проведения испытаний и даже без их фактического проведения. То есть, монета ещё не подброшена, а вероятность появления орла мы уже прекрасно знаем. Можно дать зарок никогда не брать в руки кубик либо колоду карт, однако, вероятности событий statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image016беспроблемно рассчитываются и без этого.

Примечание: однако, в отсутствии информации о результате испытания фразу «Вероятность того, что монета упала орлом» (например) всё же нельзя признать некорректной. То есть классическое определение может оценивать вероятность и после реального опыта.

Почему такое возможно? Такое возможно потому, что все элементарные исходы известны и подсчитаны заранее:

орёл и решка – итого 2 элементарных исхода;
1, 2, 3, 4, 5, 6 – 6 элементарных исходов;
6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т каждой масти – всего 36 карт.

Кроме того, для применения классического определения вероятности необходима равновозможность элементарных исходов (см. определение). Равновозможность выпадения граней монеты либо кубика обуславливается симметрией и несмещённым центром тяжести, колода же карт должна быть полной, некраплёной и хорошо перемешанной.

И всё было бы ладно, но в реальной жизни подобные модели встречаются нечасто. В большинстве ситуаций элементарные исходы перечислить затруднительно или невозможно, и ещё труднее обосновать их равновозможность. Простой пример:

Штирлиц пошёл в лес за грибами. Найти вероятность того, что он найдёт подберёзовик.

Кстати, каверзная задачка на счёт равновозможности была в конце урока о теоремах Лапласа. Краткая суть состоит в следующем: если в городе проживает примерно равное количество мужчин и женщин (которых подсчитать значительно проще =)), то это ещё не значит, что вероятность встретить на улице мужчину либо женщину равна 1/2.

Вновь обратим внимание на шаблонные формулировки стандартных задач:

«Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8»;
«Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке составляет 0,05».

Возникает вопрос, откуда взялись эти значения? И ответ здесь один: данные вероятности могли получиться только на основе ранее проведённых опытов.

Относительная частота события и статистическая вероятность

Относительной частотой события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0001называют отношение числа испытаний statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0000, в которых данное событие появилось, к общему числу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0000фактически проведённых испытаний:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image023, или короче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025

Относительная частота наряду с вероятностью является одним из ключевых понятий тервера, но если классическое либо геометрическое определение вероятности не требуют проведения испытаний, то относительная частота рассчитывается исключительно ПОСЛЕ опытов на основе фактически полученных данных.

В том случае, если серии испытаний проводятся в неизменных условиях, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, то есть колеблется около определённого значения.

Пусть некий профессиональный стрелок произвёл 100 выстрелов по мишени и попал 83 раза. Тогда относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image027.

Предположим, что тот же самый стрелок в точно такой же «форме» и в приблизительно таких же условиях снова провёл серию из 100 выстрелов. Вероятно ли, что он снова попадёт 83 раза? Не очень. Но количество попаданий вряд ли будет сильно отличаться от предыдущего результата. Пусть, например, стрелок попал 79 раз. Тогда относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image029.

В третьей серии из 100 выстрелов, проведённой при похожих обстоятельствах, данный стрелок попал 81 раз, statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image031и т.д.

Иногда могут случаться блестящие серии более 90 попаданий, иногда «провалы», но среднее количество попаданий будет варьироваться около 80. И когда количество фактически проведённых испытаний станет достаточно большим, то речь зайдёт о статистической вероятности. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.

Предположим, что на протяжении нескольких лет наш спортсмен, сохраняя стабильный уровень подготовки, совершил 10000 выстрелов и попал 8037 раз. Относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image033и за статистическую вероятность его результативности целесообразно принять statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image035, которая становится теоретической оценкой, например, перед грядущими соревнованиями.

Представьте, что во время лекции этот профессионал зашёл с винтовкой в аудиторию и прицелился. Теперь вам должен стать окончательно понятен смысл фразы «Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8» =) =)

Именно так собирается богатая спортивная статистика в различных видах спорта.

Аналогичная история с утверждением «Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке равна 0,05». Эту оценку невозможно получить с помощью классического определения вероятности – она следует только из практики! Если на станке произведены десятки тысяч деталей и на каждую, скажем, тысячу выпущенных деталей, приходится в среднем 50 бракованных, то в качестве статистической вероятности брака принимается значения statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image037.

В Задаче 2 урока Локальная и интегральная теоремы Лапласа фигурировала вероятность рождения мальчика statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039. Откуда взялось данное число? Из многолетнего подсчёта фактически рождённых детей в определённом регионе. В указанной статье мы выяснили, что это вовсе не значит, что среди 100 новорожденных будет ровно 52 мальчика. В следующей сотне рождённых их может оказаться, например, 45, и относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image041будет далека от истины. Но если рассмотреть выборку в тысячи и десятки тысяч младенцев, то statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image043отклонится от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039 0000совсем-совсем незначительно. И это уже не случайность. Как известно, такое соотношение новорожденных сложилось эволюционно – по причине бОльшей смертности мужчин.

В учебном пособии В.Е. Гмурмана есть весьма удачный пример, в котором продемонстрировано, как при подбрасывании монеты относительная частота появления орла приближается к своей вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image045(полученной по классическому определению):
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image047
Какой можно сделать вывод? С увеличением количества независимых испытаний случайность превращается в закономерность. Однако следует помнить, что порядок выпадения орлов непредсказуем, о чём я подробно рассказывал на уроке Независимые испытания и формула Бернулли.

Вернёмся к европейской рулетке с 18 красными, 18 чёрными секторами и 1 зеро. В самом примитивном варианте игры: ставим на «красное» или «чёрное», и если шарик остановился на секторе другого цвета (вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image049) – ставка проигрывается. В случае успеха – удваиваемся (вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image051).

В отдельно взятом сеансе игры отдельно взятый человек может выиграть, причём выиграть по-крупному. Это случайность. Но, совершая миллионы оборотов, рулетка на протяжении веков приносит неизменную прибыль владельцам казино. И это – закономерность. Существует байка о том, что крупный выигрыш не отдадут, а если и отдадут, то «вы с ним не дойдёте до дома». Чистая «киношная» фантазия. Да, кому-то повезло, но сколько проиграется?! К тому же человек, посещающий подобные заведения, с большой вероятностью придёт снова и «сольёт» ещё больше. А чтобы он вернулся, казино, скорее наоборот – создаст максимальный комфорт и безопасность для «счастливчика».

Другой, во многом условный, пример: пусть в некой лотерее приняло участие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image053билетов, из которых statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image055выиграли хоть какой-то приз. Таким образом, относительная частота выигрыша составила: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image057. Поскольку билетов продано очень много, то с большой вероятностью можно утверждать, что в будущем при сопоставимых объемах продаж доля выигравших билетов будет примерно такой же, и за статистическую вероятность выигрыша удобно принять значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image059.

Организатор лотереи знает, что из миллиона проданных билетов выиграют около 300 тысяч с небольшим отклонением. И это закономерность. Но всем участникам лотереи достаётся…. – правильно, случайность! То есть, если вы купите 10 билетов, то это ещё не значит, что выиграют 3 билета. Так, например, выигрыш только по одному билету – есть событие очень даже вероятное, по формуле Бернулли:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image063

А если учесть тот факт, что львиная доля выигрышей – сущая мелочь, то картина вырисовывается совсем унылая, ибо маловозможные события не происходят. Ситуацию спасают красочные телевизионные розыгрыши и различные психологические трюки.

Желающие могут самостоятельно исследовать вероятность выигрыша в различные лотереи – вся статистика есть в свободном доступе. Особо рекомендую подсчитать вероятность крупного выигрыша.

Практическая часть урока будет тесно связана с только что изложенным материалом:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности

Вероятность того, что в statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0001независимых испытаниях относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0000события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0002отклонится от вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0000(появления данного события в каждом испытании) не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069, приблизительно равна:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071, где statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image073функция Лапласа.

Собственно, эта формула и выведена из интегральной теоремы Лапласа.

Итак, расклад следующий: в распоряжении имеется вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0001наступления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0003, которая предварительно получена с помощью классического/геометрического определения или посредством серьёзной статистической оценки. Планируется провести statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0002независимых испытаний, в которых событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0004может наступить некоторое количество раз, причём значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0001, разумеется, предсказать нельзя. Полученная относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0001может оказаться как больше, так и меньше вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0002(поэтому нужен знак модуля).

Требуется найти вероятность того, что в серии из statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0003независимых испытаний, расхождение между относительной частотой и теоретической вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078, будет не больше, чем заранее заданное число, например, не больше, чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image080(один процент).

Начнём с самых маленьких :=)

В некотором регионе в результате многолетнего статистического исследования установлена вероятность рождения мальчика statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039 0001. С какой вероятностью можно утверждать, что среди следующей тысячи новорожденных, относительная частота появления мальчика отклонится от соответствующей вероятности не более чем на 0,02?

Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0000

По условию: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image084

Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image086– искомая вероятность.

Напоминаю, что значения функции Лапласа можно найти по соответствующей таблице или с помощью расчётного макета (пункт 5).

Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image088

Каков смысл полученного результата? Если рассмотреть достаточно много групп по 1000 новорожденных в каждой, то примерно в 79,6% этих групп доля мальчиков будет находиться в пределах:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image090

Или, умножая все три части на тысячу: от 500 до 540 мальчиков.

На самом деле рассмотренная задача эквивалентна следующей: «Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет от 500 до 540 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,52». А эта задача как раз и решается через известную вам интегральную теорему Лапласа.

Посмотрим на правую часть формулы statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0001и проанализируем, как при прочих равных условиях рассматриваемая вероятность зависит от размера выборки?

При росте «эн», дробь statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image093будет увеличиваться, а, как вы знаете, statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image095. То есть, вероятность отклонения statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image097рано или поздно приблизится к единице. И это неудивительно – как неоднократно показано в предыдущих примерах, при росте statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0004относительная частота события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0002всё ближе и ближе стремится к вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0003данного события, а значит, при достаточно большом количестве испытаний разница statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078 0000практически достоверно будет не больше наперёд заданного числа statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0000.

Наоборот – при уменьшении «эн» дробь statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image093 0000тоже будет уменьшаться, следовательно, значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image104будет приближаться к нулю statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image106. Нетрудно понять, что при слишком малой выборке теорема Лапласа работать перестанет. И действительно – ведь все statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image108детей в семье могут вообще оказаться девочками. Такое бывает.

Пара задач для самостоятельного решения:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0005может появиться с вероятностью 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image111раз. Определить вероятность того, что в 800 независимых испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0006отклонится от вероятности не более чем: а) на 0,05, б) на 0,03

Условие сформулировано в общем виде, как оно чаще всего и бывает. Ещё раз повторим суть задания: проводится statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image114опытов, в результате чего событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0007наступит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0002раз – сколько именно, предугадать невозможно. Относительная частота составит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image117. С другой стороны, известна вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image119события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0008, которая установлена ранее с помощью классического/геометрического определения или путём сбора солидной статистики. Требуется найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности, не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image121: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image123В чём смысл? С найденной вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image125можно утверждать, что относительная частота будет заключена в следующих пределах:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image127
Или в абсолютном количестве появлений события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0009:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image129

Надо сказать, что границы достаточно вольные и вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131должна получиться большой. Если же наперёд заданная точность составит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image133, то промежуток сократится: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image135, и, понятно, что вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image137данного события будет меньше.

Следующий пример для самых мудрых участников лотереи 🙂

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Продано 600000 билетов. Найти вероятность того, что относительная частота выигрыша отклонится от вероятности выигрыша не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image139.

Иными словами, требуется найти вероятность того, что относительная частота выигрыша будет находиться в пределах: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image141(то есть выиграют от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image143до statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image145билетов).

Эта информация очень важнА для корректного распределения призового фонда. Но, повторюсь, пример достаточно условный, т.к. не учитывает правила и ограничения той или иной лотереи.

Краткое решение и ответы в конце урока.

На практике не менее популярна и обратная задача:

Как определить, сколько нужно провести испытаний statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image147
чтобы с заранее заданной вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0000обеспечить желаемую точность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0001?

В предыдущем примере получена довольно высокая вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0001того, что количество выигравших билетов окажется в достаточно узком интервале: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image151билетов statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image153относительно наивероятнейшего количества statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image155.

Но, конечно же, хочется, чтобы вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0002была побольше:

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Сколько билетов должно участвовать в розыгрыше, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157, можно было ожидать, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image139 0000?

Решение: используем ту же формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image160.

В нашем распоряжении находятся следующие величины:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image162

По условию, требуется найти такое количество билетов statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0005, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0000разница statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078 0001составила не более чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image166. Ну, а коль скоро с вероятностью «не меньшей», то задачу следует разрулить через нестрогое неравенство:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image168

Подставляем известные значения:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image170

Делим обе части на два:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image172

По таблице значений функции statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image174 либо с помощью расчётного макета (пункт 5*) по известному значению функции statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image176 находим соответствующий аргумент: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image178. Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image180

Возведём обе части в квадрат:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image182
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image184

И финальный штрих:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image186

Ответ: для того, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0001, можно было ожидать, что statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image188, в розыгрыше должно участвовать не менее 1397844 билетов.

Но это ещё нужно столько продать =) Или же аппетит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0002придётся поубавить. Или пожертвовать точностью, то есть увеличить statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0002.

Представим ответ в абсолютных значениях:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image191

То есть, в 99% аналогичных розыгрышей количество выигравших билетов будет заключено в пределах от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image193до statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image195.

Кстати, выполним проверку, решив прямую задачу:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image197, что и требовалось проверить.

Заключительная миниатюра для самостоятельного решения:

Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0010может появиться с вероятностью 0,4. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0011от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image199не более чем на 0,05

Не ленимся 😉 Ответ в таких задачах следует округлять до бОльшего натурального значения! Краткое решение и ответ внизу страницы.

Первый цикл уроков по теории вероятностей подошёл к концу и даже начал плавно переходить в математическую статистику, так, если в рассмотренной задаче значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0003не известно, то это уже статистическая задача об оценке этой вероятности.

И я уже хотел поставить традиционное пожелание «Везения в главном», но вдруг задумался…. Имеет ли в нашей жизни значение случайность? Безусловно! Нет, я не преуменьшаю значение системной и упорной работы, после которой следуют закономерные результаты. Однако и везение играет немаловажную роль: встретить хороших друзей, встретить «своего» человека, найти деятельность по душе и т.д. – всё это нередко происходит благодаря случаю….

Жду вас снова и до скорых встреч!

Задача 2: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0002.
В данной задаче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image202

а) Если statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image204, то:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image206– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0012отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,05.

Это событие является практически достоверным.

б) Если statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image133 0000, то:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image209– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0013отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,03.

Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image211

Задача 3: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0003.
В данной задаче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image214
Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image216– вероятность, того, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на 0,001.
Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image218

Задача 5: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image220.
В данном случае: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image222
Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image224
Ответ: необходимо произвести не менее 259 опытов.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Какой - самый большой справочник ответов на вопрос какой
Adblock
detector