при каких лямбда существует обратная матрица

Пример №3.2.

lfirmal 3

Пример №3.2.

Определить, при каких значениях image 5223существует матрица, обратная данной:

image 4826

Решение:

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель, матрицы image 5195:

image 4827

Если image 5226, т. е. image 5228, то image 5229, т. е. матрица image 5195невырожденная, имеет обратную.

Благодаря этой странице вы научитесь сами решать такие примеры, на ней содержится полный курс лекций с примерами решения:

Другие примеры с решением возможно вам они будут полезны:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В высшей математике существует понятие матрицы системы чисел. С комбинацией элементов, заключённых в таблице, выполняют различные операции. Прежде чем переходить к решению матриц сложными методами, следует ознакомиться с понятием этого выражения и простейшими логическими операциями над ним.

afd9b511ab57cf00df078c53e11fbaa6

Понятие выражения

Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.

От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.

Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:

На приведенном примере показаны варианты.

84ff3ce6bdfdd9817e35e03318e9e8a7

Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:

Сложение и вычитание

Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

9caee481a4548109e651bb35e3a95c25

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

f9e1658dd0e9871fcd0064fe8a5dc40f

Умножение на число

Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

4f32a41042bc8978eba5385d514ca419

Операция перемножения

Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

8aabac06aeaafb3c76ca2968df355950

Возведение в степень

Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

319955e5776b17ca1b534dc7a1b0850f

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

5e52ff8092f4747ed418ec97f6e6d5b1

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

99e6daf8ded96c6b90995c61b81714fa

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

b721720442c716a82cffef3bb53112f6

3 этап: в итоге получаем:

75df17824cb59c321f7902648c8afcc7

Расчёт определителя

В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.

Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.

Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

6abc3b59d07319ea533a7a34ab827dad

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

52ba0738bc386ec2a4c71e2f03f8e6fc

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

89b1610e46329692354fb2d284d71df7

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

13b1cd3dd8a773a02024758b461c1e91

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

04b8c4460cc305a72422574def1a3a51

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

bcef7d8161774bdcfda389424a5d9bd5

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.

При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

ea91ecf7c406f2462da4ff44c62badb2

b63506a3f884ba5a226155c35ff02443

3 этап: находят алгебраические дополнения.

50acb6ea306c37bb8a24d110c201c213

4 этап: определяют транспонированную матрицу.

7e88a894dbae2e4cba5ccd66f37dd6a7

42b814acc87a253c2cc3670b3f0c8ea9

Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

50209c3508dde79a28526db7accba732

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.

Нахождение собственных векторов

Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

42b4b28eb6ec281ad1dcd5c5ddfd7110

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

59ab29efd28f2e8174630d77c05eabdd

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

0bd3055297641a501b941bb4a50ab118

Метод Гаусса

Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:

Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

2b66192fc704f8a79b4e7585367d3a8c

Следует переписать эту систему в матричный вид:

8495fd54ccb92808b17a78d5048a54df

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.

В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.

Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

15675ab9dac5c382031b43fdf0fe3322

2df716824a0faec325c0cf1baa80307f

f0b313dfd689dea0a2fb1d32df0de71c

Обращают внимание на последние строки.

792c01fd9f14b3530224e4e630943a98

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

a91ba389d25cf624c6a1fe2fcad6ad7e

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.

Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

b5eb40196097d66f6b2b26090abbaf6c

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

31b6c9cb7018303b035fe2bce599965c

bdfca5e7d67d4328a10d507b6c2ff00a

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

3032887db56904389ab041798ed60831

В итоге получают выражения:

823bd1b216e67a2f2531b0792a92a0e7

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

8eba2b6a6be91df9eef9dd117ed24f1c

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Обратная матрица

Способы построения

Пример. Вычислить

Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.

Пример. Вычислить

$$ \left( \begin 4& 5 &1 \\ 1 & 3 &-2 \\ 3 & 1 & 2 \end \right)^ <-1>$$ приписыванием единичной матрицы.

Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов

$$ \begin y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \\ y_7 \end = \begin 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \begin x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end + \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end \pmod <2>$$ Найти обратное преобразование.

Ответ ☞ ЗДЕСЬ.

Свойства операции обращения

Если в левой части каждого каждого из следующих равенств операции определены, то равенства справедливы:

Использование для решения систем линейных уравнений

Обратные к конкретным типам матриц

1. треугольной матрице (верхней или нижней), если существует, то будет треугольной матрицей (того же типа);

2. симметричной матрице, если существует, то будет симметричной матрицей;

3. кососимметричной матрице нечетного порядка не существует, а в случае четного порядка, если существует, то будет кососимметричной матрицей;

В некоторых приложениях важно по виду матрицы быстро определить существует ли у нее обратная — без непосредственного нахождения этой обратной. Для некоторых типов матриц можно получить «вычислительно дешевые» критерии отличия их определителей от нуля.

Следующая теорема основана на связи определителя матрицы с ее собственными числами.

$$ |a_|>|a_|+\dots+|a_|+|a_|+\dots+|a_| \quad npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,n\>$$ (модуль элемента на главной диагонали больше суммы модулей остальных элементов строки) называется матрицей с диагональным доминированием (преобладанием). Такая матрица всегда обратима.

Обращение блочных матриц

Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса

$$ <\mathfrak F>= \left( \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \dots& &&&\ddots & & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_ & a_ & & \dots & a_2 & a_1 \end \right)_ $$

Решение и ответ ☞ ЗДЕСЬ

Обращение «возмущенных» матриц

Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.

Теорема [Шерман, Моррисон]. [3]. Пусть матрицы

Используется в модифицированном симплекс-методе, в котором на каждом шаге требуется вычислять обратную матрицу для матрицы, которая отличается от матрицы, полученной на предыдущем шаге только в одном столбце [4].

Псевдообратная матрица

Источники

[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960, с.187-192

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983, с.187-234

[3]. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Numerical Linear Algebra and Optimization. V.1. Addison-Wesley, NY, 1991

[4]. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, глава 7. М.Мир. 1985

Источник

Содержание:

Теоремы существования и единственности обратной матрицы:

Рассмотрим квадратную матрицу:

17990

Определение 4.1.1. Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице Е, называется обратной А и обозначается 18014

17997.

Отметим, что если А и В квадратные матрицы одного порядка, то определитель 18016произведения матриц равен произведению

определителей множителей18005

18009

Теорема 4.1.1. (теорема существования). Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы 18026.

Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица 18118существует. Докажем, что 18028.

Так как обратная матрица существует, то 18123и 18128.Поскольку правая часть не равна нулю, то ни один из множителей левой части не может быть равен нулю. Следовательно 18030, что означает, что матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть 18286, докажем, что обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения 18292каждого элемента 18295в определителе D(A). Из полученных алгебраических дополнений построим матрицу:

18290

Матрица С называется союзной, или присоединенной, по отношению к матрице А, причем в i-й строке союзной матрицы С стоят алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы А. Составим произведение матриц С и А, тогда элемент произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен 18308

18312. На основании теоремы разложения сумма произведений элементов определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя. А сумма парных произведений какого-нибудь ряда определителя на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю (см. теорему аннулирования). Значит, все недиагональные элементы матрицы АС равны нулю, а диагональные равны D(A), следовательно:

18315(4.1.1)

Так как 18316, то равенство (4.1.1) можно умножить на скаляр 18319. Получим:

18325

Тогда матрица 18361будет обратной для матрицы А. Теорема доказана.

Сформулируем алгоритм нахождения обратной матрицы:.

Этот алгоритм можно представить в виде следующей схемы:

18397

Теорема 4.1.2. (теорема единственности). Для каждой неособенной матрицы А существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Допустим, что наряду с обратной матрицей 18426существует другая обратная матрица 18436. Тогда по определению 18434. Умножая обе части этого равенства слева на 18441, получим 18444.

Поскольку 18446, то18451, а это значит, что 18454. Теорема доказана.

Вычислив определители левой и правой частей равенства 18461, получим 18463, следовательно 18466то есть определители матриц 18471взаимно обратные.

Замечание. Формула 18473позволяет найти явные выражения для элементов обратной матрицы через элементы матрицы А (см. алгоритм 1). Однако построение союзной матрицы очень трудоемкая операция при больших размерностях матриц. Поэтому доказанная формула, в большей мере, важна в теоретическом отношении.

Свойства обратной матрицы. Подобная матрица

Укажем некоторые свойства обратной матрицы:

Понятие обратной матрицы позволяет ввести следующее определение:

Определение 4.2.1. Квадратная матрица А называется подобной матрице В, если существует невырожденная матрица Т, для

которой выполняется равенство 20294.

Говорят, что матрица А трансформируется в матрицу В при помощи матрицы Т.

Отношение подобия обладает тремя основными свойствами:

Приложения обратной матрицы в экономических исследованиях

Применение обратных матриц в экономических исследованиях столь многочисленно и разнообразно, что мы приведём отдельные примеры использования обратной матрицы в экономических исследованиях.

Пример:

Предположим, что затраты времени оборудования при выпуске изделий пропорциональны количеству готовых изделий и пусть известна квадратная матрица Т норм затрат времени оборудования на различные изделия на различных типах оборудования. Если задана матрица-столбец А затрат времени на различных типах оборудования, необходимое для выполнения производственной профаммы, то определение возможного выпуска готовых изделий X осуществляется с использованием обратной матрицы 20332:

Валовой выпуск продукции X также можно определить, зная матрицу Z норм затрат рабочего времени рабочих различных категорий и фонд рабочего времени F по категориям рабочих, вычислив произведение обратной матрицы 20339на F, т.е. 20342.

Пример:

20345

Сумма показателей в строках даёт общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Суммы показателей по столбцам показывают затраты данного сектора, необходимые для производства всего объёма продукции. Следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Так, например, первый столбец характеризует основной производственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 520 т продукции сельского хозяйства требуется 120 т сельскохозяйственной продукции, 200 машин и 160 работников. Определим валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом: 20578.

Решение:

Пусть 20580— валовой выпуск продукции i,i=1,2,3; а 20582-конечный спрос на продукцию /. Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию:

20583

где20584— количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. В матричном обозначении получим:

где X, Y- матрицы столбцы, а А- матрица коэффициентов прямых затрат. Все её элементы неотрицательны.

20588. (4.3.2)

20718

Далее вычисляем элементы матрицы Е-А: 20728

вычисляем определитель 20741

20746

и алгебраические дополнения элементов матрицы (Е-А):

20750

20755

Составляем из алгебраических дополнений присоединённую матрицу С:

20759

и вычисляем элементы обратной матрицы 20765:

20768

Тогда в силу (4.3) находим валовой выпуск продукции: 20778

Таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести приблизительно 1042 т продукции сельского хозяйства, 1280 машин и нанять 1119 работников.

Особенности матриц в ценностном и натуральном выражении

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А, рассмотренная нами в примере предыдущего пункта, относится к классу неотрицательных матриц, так как матрица-столбец 20792должна быть неотрицательна.

Определение 4.4.1. Если решение системы (4.3.1) сществует для любой неотрицательной матрицы Y конечного спроса, то матрица А называется продуктивной.

Поэтому элементы матрицы А не могут принимать произвольные положительные значения. Все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы. В противном случае производство лишается всякого смысла (если 20802, то 20807). Произведение коэффициентов, симметричных относительно главной диагонали, должно быть также меньше единицы: 20810. Указанные ограничения на значения элементов матрицы А не зависят от единиц измерения. Однако в общем случае выбор единиц измерения существенно влияет на анализ свойств матриц межотраслевого баланса. Для матриц межотраслевого баланса в ценностном выражении обычно выполняются условия 20835• Если же для некоторой k-и отрасли 20840, то экономически это означает, что данная отрасль настолько убыточна, что её убытки перекрывают расходы на амортизацию и оплату труда.

Так как норму матрицы А можно определить по формуле

20847, то при условии что 20850норма матрицы А меньше единицы, т.е. 20853.

Если норма матрицы А меньше единицы, то

Отметим, что в матрицах межотраслевого баланса в натуральном выражении условия 20866, практически никогда не выполняются. Более того, многие элементы этих матриц больше единицы. Однако можно подобрать такие новые измерители (матрицу T), что для подобной матрицы 20869будет выполняться 20871и следствия из него.

Подобные матрицы имеют равные по величине собственные значения и главные миноры;

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из приведенных ниже условий:

Условие 21734является достаточным для продуктивностн матрицы А.

Матрица 21737называется матрицей коэффициентов полных затрат, а её элементы- коэффициентами полных затрат. Они 21740показывают, какой должен быть валовой выпуск i-Й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат 21745не меньше коэффициентов прямых затрат: 21746так как они характеризуют совокупность прямых и косвенных затрат.

Вернёмся к примеру 1.12 и проанализируем матрицы коэффициентов прямых затрат А и полных затрат 21752:

21756

Элементы матрицы А удовлетворяют условиям:

21758

21762

4) норма матрицы 21769

21772

Значит матрица А является продуктивной и для неё существует обратная матрица 21775, называемая матрицей полных затрат.

Из вида матрицы В следует, что все коэффициенты полных затрат 21776. Например, элементы первого столбца матрицы В показывают, что для того чтобы произвести единицу конечной продукции сельского хозяйства нужно произвести 2,222 единиц сельского хозяйства, 1,766 единиц промышленности и занять 1,845 работников.

Определение обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

18281

Обозначим 18305

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если 18311

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение 18369— единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через 18385так что18387

Обратная матрица вычисляется по формуле 18391где 18399— алгебраические дополнения элементов 18404

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример:

Для матрицы 18428найти обратную.

Решение:

Находим сначала детерминант матрицы А:

22934

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: 22950— алгебраические дополнения элементов 22960исходной матрицы. 22970откуда 22981

Пример:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: 22990

Решение:

Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: 22995

С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: 23011

23034

Прибавим третий столбец к первому и второму: 23040

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак, 23058

Что такое обратная матрица и как её решать

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, элементы 2372которой равны единице, называется единичной матрицей. Обозначение: Е.

2380

Внимание! Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема:

Для невырожденной матрицы 2387существует единственная обратная матрица

2390

где 2392— алгебраические дополнения элементов 2394матрицы А.

Пример:

Найти матрицу X из матричного уравнения АХ=В, где 2398

Решение:

Умножим уравнение АХ=В на 2400слева:

2401

Найдем 2402Обратная матрица к А существует, т.к. матрица А невырожденная:

2403

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

2404

2418

Произведение матриц 2419существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно 3. Найдем его: 2422

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Производства
Adblock
detector